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espaces vectoriels normés
Bonjour a tous,
je suis en sup mais la semaine d'avant les vacances nous avons fait un cours sur la Topologie de R² et sur les espaces vectoriels normés. Voici mon problème et je ne sais pas comment m'y prendre
Soit (E,N) un Rev normé
Soit A une partie de E et a un élément de E. A(barre) est l'adhérence de A.
1)Montrer que 
a
E
aA(barre) ssi r>0, BN(a,r)
A
2)Montrer que A(barre) est le plus petit fermé contenant A.
3) En déduire que A fermé 
A=A(barre) (j'ai réussi cette question)
4)Etablir que : xE,r
+*, BN(x,r)(barre)=DN(x,r).
5)Etablir que
(A,B)P(E)²,(AB)(barre)
A(barre)B(barre)et (A
B)(barre)=A(barre)B(barre).
Montrer que la premiere inclusion est stricte.
Remarque : je n'ai ni vu les intérieurs, ni les frontières c'est pourquoi je ne peux pas les utiliser car je n'ai pas envie de redémontrer toutes les propriétés les concernant.
J'avais trouvé un corrigé mais ils utilisaient ces notions qui me sont inconnues
On dit que a est un point adhérent à A (au sens de la norme N), s'il existe une suite (xn) d'élément de A, convergeant vers a (ai sens de la norme N) et on note A(barre) l'adhérence de A(l'ensemble des points adhérents à A)
ok,
pour la 1), pour le sens direct, tu fixes un point , alors par définition il existe une suite
de points de
qui tend ves
,
utilise alors la définition de la convergence des vers
.
Pour le sens indirect construis une suite de points de de sorte qu'elle tende vers
, en utilisant par exemple les boules
.
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