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Espaces vectoriels normés
Bonsoir,
J'ai du mal à comprendre la fin de la correction d'un problème de topologie. Dans ce problème, on considère l'espace vectoriel normé E des fonctions numériques continues sur [0, 1] et le sous-espace affine E' des fonctions f vérifiant f(0) = f(1) = 0 et . Ce que je ne comprends pas, c'est que la distance de 0 à E' n'est pas atteinte (d(0, E') = 1). Pourriez-vous m'aider SVP ?
Pour information, la première partie de ce problème consiste à prouver que E' est fermé et de codimension 3. Ensuite, il faut montrer que la distance de 0 à E' vaut 1 et que cette distance n'est pas atteinte.
Hello!
Donc tu cherches f de norme infinie égale à 1 dans E'
Il faut donc que f(0)=0, f(1)=0 et
Comprends tu ce qui coince? Essaie de faire un graphique. Déjà f est positive. (Pourquoi?)
Ensuite si f est en dessous de 1 trop longtemps il se passe quoi?
Conclusion?
Merci beaucoup, j'ai compris. Si et
, ça correspond graphiquement au carré OIMJ avec
. Donc ce qui coince c'est que s'il existe x dans [0, 1] tel que f(x) < 1, par continuité
. Donc f ne peut pas être négative, ni même appartenir à E' puisque f(0) et f(1) < 1. Donc pour tout f appartenant à E',
.
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