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Espaces vectoriels normés

Posté par
barka54 02-02-23 à 10:42

Bonsoir,
J'ai besoin d'un coup de main pour un exercice d'analyse sur les espaces vectoriels normés.
Merci d'avance.

Soit L l'espace vectoriel des fonctions lipschitziennes de [0,1] à valeurs dans R, l'ensemble des nombres réels. On munit L de la norme infinie suivante : ||f||_∞=sup|f(x)| , x appartenant à [0,1] .
Soit N : L→R définie par :
$N(f)=|f(0)| + sup{\frac{|f(x)-f(y)|}{x-y}:0\leq x<y \leq 1}$ .

1. Montrer que N définie une norme sur L .
2. Montrer qu'il existe une constante réelle α>0 telle que ||f||_∞≤αN(f) pour tout f appartenant à L.
3. Les normes ||.||_∞ et N sont-elles équivalentes ? Justifier.

1. J'ai pu montré que N est une norme.
Je bloque cependant sur la recherche de la constante réelle α. J'ai cherché à majorer sup|f(x)| , pour tout x appartenant à [0,1] ... mais c'était pas trop évident. Auriez-vous à proposer ?

Espaces vectoriels normés

Posté par re : Espaces vectoriels normés 02-02-23 à 12:55

Hello !

$|f(x)| \leq |f(x) - f(0)| + |f(0)|$

Posté par re : Espaces vectoriels normés 05-02-23 à 22:56

Bonsoir,
Merci pour votre intervention.
J'ai procédé en appliquant la norme infinie aux deux membres de l'inégalité:

$|f(x)|_{\infty} \leq |f(x) - f(0)|_{ \infty} + |f(0)|$
J'ai écrit que pour x, y appartenant à [0,1] , |f(x)-f(y)|≥|f(x)-f(0)| , en divisant le membre gauche par x-y qui est négatif,
|f(x)-f(y)|/(x-y) ≤ |f(x)-f(0)|

Posté par re : Espaces vectoriels normés 06-02-23 à 15:03

Bonjour

$\boxed{2.}$ On a par définition de $N(f)$ , $\Large\boxed{\forall x\in]0,1]~~,~~\frac{|f(x)-f(0)|}{x}+|f(0)|\leqslant N(f)}$

et donc $\Large\boxed{\forall x\in]0,1]~~,~~|f(x)-f(0)|+|f(0)|x\leqslant N(f)x}$ (inégalité restant valable pour $x=0$ )

et en utilisant l'inégalité triangulaire inverse et le fait que $|f(0)|\leqslant N(f)$

$\Large\boxed{\forall x\in[0,1]~~,~~|f(x)|\leqslant(1-x)|f(0)|+N(f)x\leqslant N(f)}$

soit $\Large\boxed{||f||_{\infty}\leqslant N(f)}$ (par passage au sup).

Posté par re : Espaces vectoriels normés 06-02-23 à 17:39

$\fbox{3.}$ Je dirai que non : les deux normes (sur $L$ ), $||.||_{\infty}$ et $N$ , ne sont pas équivalentes.

Pour s'en convaincre on peut raisonner par l'absurde en supposant l'existence d'une constante $\beta\in\mathbb R_+^*$ telle que $N(f)\leqslant\beta||f||_{\infty}$ pour tout $f\in L$ .

Et considérer (par exemple) la suite de fonctions $(f_n)_{n\geqslant1}$ définie par $\Large\boxed{f_n(x)=\left\lbrace\begin{array}l \frac{1}{\sqrt n}-x\sqrt n~~si~~x\in[0,\frac{1}{n}]\\\\~~~~~0~~~~~~~~~si~~x\in[\frac{1}{n},1]\end{array}}$

on peut vérifier (assez facilement) que :

$\ast$ $\forall n~,~f_n\in L$ .

$\ast$ $\forall n~,~||f_n||_{\infty}=\frac{1}{\sqrt n}~~,~~N(f_n)=\frac{1}{\sqrt n}+\sqrt n$ ... _{sauf erreur de ma part bien entendu}

Posté par re : Espaces vectoriels normés 07-02-23 à 13:07

barka54 @ 05-02-2023 à 22:56

Bonsoir,
Merci pour votre intervention.
J'ai procédé en appliquant la norme infinie aux deux membres de l'inégalité:

$|f(x)|_{\infty} \leq |f(x) - f(0)|_{ \infty} + |f(0)|$
J'ai écrit que pour x, y appartenant à [0,1] , |f(x)-f(y)|≥|f(x)-f(0)| , en divisant le membre gauche par x-y qui est négatif,
|f(x)-f(y)|/(x-y) ≤ |f(x)-f(0)|

C'est totalement faux. La notation $|f(x)|_\infty$ n'a que peu de sens vu que f est à valeurs réelles, l'inégalité écrite est fausse en général...
Aussi, as-tu remarqué que le fait que'on travaille avec des fonctions lipschitziennes est important, pour que f soit une norme ?

Il faut y aller doucement pour le 2)
Si x est nul : $|f(x)| = |f(0)| \leqslant N(f)$ par définition.
Sinon :
$\begin{array}{lcl}|f(x)| &\leqslant& |f(0)| + |f(x)-f(0)| \\ &=& |f(0)| + \underbrace{x}_{\leqslant 1}\underbrace{\dfrac{|f(x)-f(0)|}{|x-0|}}_{\leqslant \displaystyle\sup\limits_{x,y}\dfrac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}} \\ &\leqslant& |f(0)| + 1\times \sup\limits_{x,y}\dfrac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} \\ &=& N(f) \\ \end{array}$

Cela montre que N(f) est un majorant de f sur [0,1], donc aussi de son sup.

Pour le 3), on peut procéder par l'absurde. Supposons qu'on ait $N(f)\leqslant C||f||_\infty$ pour tout f. On cherche une contradiction, et pour cela il suffit de trouver une suite de fonctions dont la norme tend vers quelque chose de fini (ou mieux : est constante égale à 1) mais telle que $N(f_n)$ tende vers l'infini.
Celle donnée par elhor_abdelali fonctionne si tu arrrives à montrer que les $f_n$ sont lipschitiziennes et à calculer leur norme.

Sinon, plus simple à mon avis : $f_n(x) = x^n$ . Chaque fonction est de norme 1 et $x^n-y^n = (x-y)\sum_{k=0}^{n-1}x^ky^{n-1-k}$ donc $f_n$ est n lipschitzienne et donc $N(f_n)$ tend vers l'infini.
Pour montrer que $N(f_n)$ tend vers l'infini, il suffit de minorer le sup par $\dfrac{1-y^n}{1-y} = \sum_{k=0}^{n-1}y^k$ pour tout y différent de 1. Ceci est une fonction continue (car polynomiale), qui tend vers n en 1.
Donc il existe $\delta_n > 0 \text{ tq } 1-y \leqslant \delta_n \implies n - \dfrac{1-y^n}{1-y} < 1/n$ .
Donc on peut prendre par exemple $y_n = 1-\delta_n/2$ pour avoir $N(f_n) = \sup\limits_{x,y}\dfrac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} \geqslant \dfrac{1-y_n^n}{1-y_n} > n - 1/n \longrightarrow \infty$ quand $n\to\infty$

Posté par re : Espaces vectoriels normés 07-02-23 à 18:00

C'est très clair ...

Merci énormément à vous tous pour vos sublimes détails !

Posté par re : Espaces vectoriels normés 07-02-23 à 18:38

C'est un plaisir barka54

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