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Espaces Vectoriels Prepa
Dans l'espace vectoriel muni de sa base canonique
, on considère les quatres vecteurs:
1.) Montrer que est une base de
. On notera désormais cette base
-> Il faut donc montrer que la famille est libre et génératrice.
Cependant je n'arrive pas à montrer qu'elle est génératrice.
Il me faut résoudre ce système mais je n'y arrive pas.
a+b+c+d=x
a+b-c-d=y
a-b+c-d=z
a-b-c+d=t
2.) On considère l'endomorphisme de
défini par les relations:
a.) Montrer que est un automorphisme de
.
Expliciter sa matrice associée dans la base canonique .
b.) Montrer que l'endomorphisme est un endomorphisme simple, que l'on déterminera.
c.) Déterminer la matrice associée à l'endomorphisme réciproque de dans la base
.
d.) Déterminer la matrice associée à l'endmorphisme dans la base
.
J'ai également quelques problèmes pour cette question.
Je vous remercie de votre aide.
Bonsoir benesen,
1) Il te suffit de démontrer qu'elle est libre en effet vu que ton système est constitué de 4 vecteurs et que R4 est de dimension 4 cette famille est libre maximale donc une base.
2)a ) Un automorphisme est endomorphisme bijectif donc il suffit de calculer le déterminant de la matrice de u et de constater qu'il n'est pas nul pour assurer la bijectivité.
b) il te suffit d'inverser la matrice de u.
c) Il te suffit d'exprimer u(f1) en fonction de f1, f2, f3 et f4 idem pour u(f2), u(f3) et u(f4)
salut 
Bonjour,
Pour la question 2.) je ne sais pas comment calculer le déterminant de la matrice
1 1 1 1
1 1 -1 -1
1 -1 1 -1
1 -1 -1 1
Merci de votre explication
Pour la suite je n'arrive a rien faire malgré votre aide.
Pourriez vous m'expliquer un peu plus.
Merci
Pour vérifier que le déterminant n'est pas nul tu peux utiliser les opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes
en effet si tu fais C1->C1+C2+C3+C4
tu obtiens
avec le 4 que tu as obtenu tu peux supprimer les 1 en haut en faisant
C2->C2-4C1 et etc..
tu obtiens donc
Et la tu as donc que le déterminant de ta matrice est égal à 4 fois celui de ton mineur d'ordre 3 en bas à droite(calcul de déterminant de matrices par blocs)
Et la tu dois pouvoir calculer le determinant de ton mineur tout seul et montrer qu'il n'est pas nul
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