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espaces vectoriels/ Projecteurs

Posté par
helioss
17-12-23 à 21:16

Bonjour je n'arrive à faire cet exercice, je vous joins mes recherches, merci de votre aide

Soient E un K-ev, p et q des projecteurs de E

1)Montrer que p + q est un projecteur si et seulement si p◦q=q◦p=0

2) Montrer que si c'est le cas, alors Im p et Im q sont en somme directe, et que p + q est le projecteur sur Im p + Im q, parallèlement
à ker p ∩ ker q

( Indication : penser que les projecteurs sont caractérisés par f2= f et que leurs espaces caractéristiques ( espace de projection et direction ) sont ker(p − I) = Im (p) et ker(p).)



Ce qu'ai fait :

) - Hypothèse: p◦q=q◦p=0:
On a p L(E) car c'est projecteur, de même pour q. Ainsi p+q L(E) comme combinaison linéaire.

Puis  (p+q)◦(p+q) = p + pq + qp + q = p+q avec l'hypothèse.

On conclut p+q est un projecteur de E.





Réciproquement, si p+q est un projecteur de E

alors (p+q)◦(p+q)  = p+q
ie pq + qp = 0
Puis me voilà bloqué
Merci de votre aide

Posté par
GBZM
re : espaces vectoriels/ Projecteurs 18-12-23 à 10:31

Bonjour,
L'implication "p+q projecteur" \implies pq=qp=0 n'est vraie que si K est de caractéristique différente de 2. Si K est de caractéristique 2, alors p=q=\mathrm{Id}_K fournit un contre-exemple . On ne dit rien du corps K dans ton énoncé ?
Tu es arrivé à pq+qp=0. Tu peux par exemple composer ça avec p à gauche, puis à droite, et utiliser le fait que la caractéristique du corps est différente de 2.

Posté par
helioss
re : espaces vectoriels/ Projecteurs 18-12-23 à 17:03

Bonjour, non c'est mon enconcé complet
J'ai fait ça, est-ce juste :

pq + qp = 0
donc en composant par p à gauche:
p^2q + pqp = 0

Or on à pq + qp = 0
ainsi : pq = - qp

On a donc pq - qpp = 0
ie pq = qp

Or puisquepq + qp = 0,

On en déduit pq = qp = 0



Pour la question 2 je n'ai aucune idée de comment procéder

Posté par
GBZM
re : espaces vectoriels/ Projecteurs 18-12-23 à 19:33

Tu en déduis plutôt à la fin  2pq=0 et comlme la caractéristique du corps n'est pas 2, on conclut pq=qp=0.
Si ton énoncé parle d'un corps général (sans dire par exemple que K=\mathbb R ou \mathbb C, alors il est fautif !

Pour commencer la question 2, prends x\in \mathrm{Im}(p)\cap \mathrm{Im}(q) et montre que x=0 . le fait que pq=qp=0 peut servir ici !

Posté par
helioss
re : espaces vectoriels/ Projecteurs 18-12-23 à 21:53

Bonsoir, finalement c'est j'ai réussi,
Merci beaucoup de votre aide !

Posté par
GBZM
re : espaces vectoriels/ Projecteurs 18-12-23 à 23:05

Avec plaisir.



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