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espaces vectoriels/ Projecteurs
Bonjour je n'arrive à faire cet exercice, je vous joins mes recherches, merci de votre aide
Soient E un K-ev, p et q des projecteurs de E
1)Montrer que p + q est un projecteur si et seulement si p◦q=q◦p=0
2) Montrer que si c'est le cas, alors Im p et Im q sont en somme directe, et que p + q est le projecteur sur Im p + Im q, parallèlement
à ker p ∩ ker q
( Indication : penser que les projecteurs sont caractérisés par f2= f et que leurs espaces caractéristiques ( espace de projection et direction ) sont ker(p − I) = Im (p) et ker(p).)
Ce qu'ai fait :
) - Hypothèse: p◦q=q◦p=0:
On a p 
L(E) car c'est projecteur, de même pour q. Ainsi p+q L(E) comme combinaison linéaire.
Puis (p+q)◦(p+q) = p + pq + qp + q = p+q avec l'hypothèse.
On conclut p+q est un projecteur de E.
Réciproquement, si p+q est un projecteur de E
alors (p+q)◦(p+q) = p+q
ie pq + qp = 0
Puis me voilà bloqué
Merci de votre aide
Bonjour,
L'implication " projecteur"
n'est vraie que si
est de caractéristique différente de 2. Si
est de caractéristique 2, alors
fournit un contre-exemple . On ne dit rien du corps
dans ton énoncé ?
Tu es arrivé à . Tu peux par exemple composer ça avec
à gauche, puis à droite, et utiliser le fait que la caractéristique du corps est différente de 2.
Bonjour, non c'est mon enconcé complet
J'ai fait ça, est-ce juste :
donc en composant par p à gauche:
Or on à
ainsi :
On a donc
ie
Or puisque,
On en déduit
Pour la question 2 je n'ai aucune idée de comment procéder
Tu en déduis plutôt à la fin et comlme la caractéristique du corps n'est pas 2, on conclut
.
Si ton énoncé parle d'un corps général (sans dire par exemple que ou
, alors il est fautif !
Pour commencer la question 2, prends et montre que
. le fait que
peut servir ici !
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