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Espaces Vectoriels Supplémentaires ( Analyse Synthèse )
Bonjour, j'ai un peu de mal avec ce genre d'exercices donc je viens vous demander de l'aide
Soit E = Mn(R)
Traitez le cas n quelconque par analyse synthèse.
On considère les ensembles suivants,dont il faudra prouver que ce sont des sous-e.v:
F ensemble des matrices dont la somme de tous les coefficients est nulle
Et G=Vect(In).
Montrer que F et G sont supplémentaires
● Pour montrer que ces 2 ensembles sont des espaces vectoriels :
G c'est immédiat car il est donné sous forme générée
Pour F je l'ai fais en vérifiant les 3 conditions mais j'ai voulu le faire par forme générée pour pouvoir trouver des équations .
Sauf que je n'ai pas réussi d'écrire F sous forme générée
● J'ai décris F par une double somme d'une Matrice A quelconque appartenant à F ( i à n ) (j à n ) de ses coefficients qui vaut
Mais je ne vois pas comment passer sous forme générée.
J'ai pensé a utiliser les matrices E(i,j) mais je ne vois pas comment développer cette idée
Merci d avance pour votre aide 
Hello : si
Rien de particulier, faut juste expliciter les coeffs de la matrice pour
réel et
matrice carrée
salut
F est l'ensemble des matrices
pourquoi est-ce immédiat pour G : que sais-tu pour affirmer cela ?
Hello : si
Rien de particulier, faut juste expliciter les coeffs de la matrice
Oui j'ai décris F comme ceci mais je ne vois pas ce que vous voulez dire par A + lambda*B
salut
F est l'ensemble des matrices
pourquoi est-ce immédiat pour G : que sais-tu pour affirmer cela ?
C'est la somme des coef qui vaut
Et pour F ce n'est pas immédiat mais il contient la matrice nulle, est inclus dans E par définition et est stable par combi linéaire car la somme sera alpha * 0 + lamda * 0 avec alpha et lamda des réels quelconques
ewiewi
L'application A 
p,q Ap,q) est une forme linéaire sur Mn(K) .
Son noyau H est donc un sv de dimension n² - 1 .
Tout supplémentaire de H est de dimension 1 . Comme In n'est pas dans H , K.In est un supplémentaire de H .
Désolé J'ai oublié de le préciser mais on ne doit utiliser que les notions basiques puisqu'on a pas vu les dimensions les morphismes les noyaux ect.. en cours
ben c'est du cours de base sur les matrices ... puisqu'on veut montrer que si A et B sont dans F alors il en est de même de pA + qB pour tout réel p et q ...
1.La preuve du fait que F est un sv de E est immédiate :
F n'est pas vide et si t 
et (A,B) F² il est presque évident que A + t.B F .
2.F 
G = {0} car si A = s.In et si A F on a : 0 = p,q A(p,q) = n.t .
3. E 
F + G car si A A et x on a : A = x.In + (A - x.In) et il n'est pas compliqué de trouver x pour que (A - x.In F .
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