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Niveau Maths sup
Espérance
Posté par Mayhem555 (invité)
Salut a tous,
j'ai un problème assez lourd, je me casse la tête dessus depuis quelques heures
il s'agit de montrer que
Si X est une variable aléatoire positive :
J'ai essayé l'inégalité de Markov (mais bon les inégalités ne me servent pas trop), aussi de remplacer P(X>x) par 1-F(x) (F étant la fonction caractéristique), ou par
Je n'arrive pas à m'en sortir !
Merci pour votre aide.
Salut,
c'est classique.
En fait tu commences par étudier le cas où X est comprise entre 0 et une constante entière k.
Considère alors pour tout n
k et pour tout i entier compris entre 0 et k.2^n -1 la v.a. étagée Xn valant i/2^n sur l'image réciproque par X de ]i/2^n ; (i+1)/2^n] pour tout i.
Tu montres que E(Xn) vaut 1/2^n fois la somme de i=1 à k.2^n-1 des P(X>i/2^n).
Dans ce cas tu découpes l'intégrale sur R+ de P(X>t) en intervalles de longueur
1/2^n et tu prouves aisment qu'elle est coincée entre
E(Xn) et E(Xn) + P(X>0)/2^n, d'où E(Xn) -> E(X).
Dans le cas général, tu définis les va tronquées Yk = X.I(X
k),
qui sont mesurables positives.La suite Yk(oméga) est croissante et converge simplement vers X(oméga) pour tout oméga.
Par convergence monotone, tu en conclus E(Yk) -> E(X).
Après tu utilises l'expression de E(Yk) comme intégrale sur R+ de P(X.I(Xk) > t) dt
et tu prouves que l'intégrande converge en croissant vers P(X > t) lorsque k -> +infini, et tu conclus, toujours par CV monotone.
Tigweg
Ouh là...T'es sûr que tu n'es qu'en Sup ??
Je n'avais pas regardé, mais ce problème est d'un niveau bien supérieur...
Ou alors comment t'a-t-on défini l'espérance?
J'avaoue que je suis surpris, on fait des probas et de la théorie de la mesure maintenant, en sup???
Posté par Mayhem555 (invité)re : Espérance
en fait non je suis en génie mathématique à l'insa de rouen 
Posté par bret (invité)re : Espérance
Salut,
Attention :
Et donc
par fubini-tonelli
ce qui donne donc j'ai du me tromper quelque part
Salut,
ah oui c'est beaucoup plus rapide ainsi
J'ai toujours retenu la première démonstration car elle ressemble à celle qui permet de définir l' intégrale d'une fct mesurable positive quand on sait intégrer une fct mesurable étagée positive, et parce que notre prof de maîtrise nous l'avait donnée avant le cours sur Fubini
Tigweg
Bonjour à tous
Euh.. Bret, ta démonstration marche dans le cas où la loi de X a une densité, ce qui n'est forcément le cas. Mais peut-être que je ne vois pas où tu as voulu en venir.
Kaiser
Salut Kaiser,
j'ai l'impression que cette hypothèse est sous-entendue dans l'énoncé de Mayhem555, puisqu'il dit avoir essayé 
f(t)dt pour t>x.
En fait c'est une hypothèse importante!
Peux-tu préciser, Mayhem555?
Tigweg
OK ! Merci ! 
J'avais moi aussi lu qu'il avait dit avoir essayé avec l'intégrale de f mais bon je pensais qu'il se plaçait dans un cas particulier.
Kaiser
Mais c'est vrai que si l'on suppose que X admet une densité f par rapport à la mesure de Lebesgue, ma démonstration devient plus que maladroite!
tigweg
Sauf erreur de ma part, oui
Mais bon s'il est explicitement dit dans l'énoncé (pour simplifier les choses)
qu'elle a une densité, autant l'utiliser!
Si ca se trouve, il s'agissait simplement d'un exo d'application de Fubini-Tonnelli, en fait.
J'ai quand même un peu de mal à imaginer qu'ils leur aient demandé de trouver le cas général tout seuls à la maison, et qui plus est sans indications
Moi j'ai eu cette question dans un examen quand j'étais en licence.
A part ça c'est un résultat plutôt connu.
Je ne comprends pas ce que vous dites, il n'y a pas besoin d'une densité pour montrer ce résultat, mais alors ça devient plutôt un exercice de théorie de la mesure, c'est vrai.
Posté par Mayhem555 (invité)re : Espérance
Heu...rien n'est spécifié quant au fait que X possède ou pas une densité...
mais bon le problème est résolu, bien vu messieurs!
Non! On Fubinise le tout, donc on integere par arpport à x lol
l'integrande vaut 1 si t>x, soit si x
Tigweg
Tout d'abord, une petite faute de frappe : c'est dx, amis bon passons.
Sinon, on a
Pour la première intégrale, on a x inférieur à t, donc presque partout, et donc cette intégrale vaut t.
Pour la seconde intégrale, on a x supérieur à t, donc presque partout. cette seconde intégrale est nulle, d'où le résultat.
Kaiser
Posté par Mayhem555 (invité)re : Espérance
ah oui effectivement...!!
Javais bien fait le Fubini mais cette astuce là me manquait pour avancer.
Merci beaucoup.
Mort de rire Kaiser Maintenant c'est à ton tour de me griler !!
Tu as es réponses pour mon post sur arctan(cos x))?
Posté par Mayhem555 (invité)re : Espérance
En le fait que X soit une va positive sert là dedans ? Pour appliquer le Fubini ??
Non, sinon l'integrale de 1[x,+infini] est à prendre de -infini à t, et plus de
0 à t, donc ca ferait +infini.
Posté par Mayhem555 (invité)re : Espérance
ouch rapide
C'est ce que j'avais effectivement déduis 
Merci !
Posté par bret (invité)re : Espérance
bonsoir,
euh je crois que dans le cas d'une variable discrete, on n'a pas besoin de connaitre de théorie de la théorie de la mesure :
on dit que
et après on échange la somme et l'intégrale en faisant un peu gaffe, mais ca marche tout seul (c'est bien sûr un cas particulier de Fubini, mais il n'y a pas besoin de connaitre ici de la théorie de la mesure).
bret