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Niveau Maths sup
Espérance.
Posté par Poun (invité)
Bonjour!
n
k(k parmi n)*pk(1-p)(n-k) = np
k=0
Je dois démontrer ceci, j'ai pensé à modifier le k parmi n mais çà me paraît compliqué après...auriez vous une astuce?svp
Merci.
C'est le calcul de l'espérance d'une loi binomiale, tu dois pouvoir trouver cela sur le ouebbe à l'aide de Google.
Posté par Poun (invité)re : Espérance.
http://petrequin.club.fr/mathema/lycee/proba/demo1.html
Tiens y'a cette démonstration, mais elle me paraît laborieuse 
En effet ce calcul est un peu long.
As-tu remarqué ce qui est écrit tout en bas ? "Il existe une démonstration plus élégante...."
Tu peux dire que la loi binomiale (n,p) est la loi de la somme de n variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre p, donc l'espérance de binomiale (n,p) est la somme des espérances de n variables Bernoulli de paramètre p, ce qui fait np.
Bonjour à tous
Je pense avoir une méthode astucieuse pour calculer cette somme.
Pour x réel, posons .
Tout d'abord, en utilisant la formule du binôme, on a que .
De plus, en dérivant par rapport à x, on a , d'où
.
Si p=1, l'égalité est facile à montrer, sinon en posant , on a
.
En multipliant de chaque côté par , on obtient le résultat voulu.
Kaiser
bonjour
comme toujours quand kaiser est là j'arrive trop tard ,j'allais indiquer cette méthode qui me semble aussi la plus astucieuse si on ne veut pas utiliser une somme d'aléas de bernoulli
En fait, j'ai distingué deux cas selon que p vaut 1 ou pas.
Si p=1, on peut montrer l'égalité sans aucun problème car dans ce cas, dans la somme, un seul terme n'est pas nul.
Dans le cas où p est différent de 1, je peux écrire (car je ne divise pas par 0).
Non, car à gauche le terme d'ordre n n'est pas nul.
En fait, dans ce cas, on convient que même si a est nul.
bonjour à tout le monde, au risque de passer pour un imbécile, je me lance...si p=1 la somme n'est-elle pas nulle? (1-p)^(n-k)=0 non?...je ne comprends pas, je suis comme H_aldnoer lool
Ce que je voulais dire c'est que tous les termes de la somme sont nul sauf le dernier qui, formellement, vaut .
Posté par Poun (invité)re : Espérance.
Bonjour,
p 
, peut on donc remplacer p complexe par x réel ? je veux dire par là si x est complexe, on peut dériver par rapport à x complexe?
En fait, on peut contourner ce problème et ne pas "dériver par rapport à un complexe en considérant l'égalité
comme une égalité entre deux polynômes à coefficients complexes. En effet, on a montré que les deux polynômes complexes sont égaux sur , donc ils sont égaux sur
.
Je ne sais pas si j'ai été vraiment clair. 
Kaiser