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Niveau Licence Maths 1e ann
Espérance de la loi uniforme par la fonction génératrice
Posté par Lau_
Bonjour,
Je souhaite retrouver l'espérance de la loi uniforme grâce à la fonction génératrice, c'est à dire
Pour x qui suit une loi uniforme pour {1,2,...,n}
Gx'(1)=E(x)
Gx(t)=[k=1]somme[/n]([t][/k]P(x=k))=[k=1]somme[/n]([t][/k]/n)=(1/n)((1-t^n)/(1-t)) avec [t]different[/1]
Gx'(t)=(1/n)((1-(n+1)*(t^n)+n*(t^(n+1)))/(1-t)^2) pour t différent de 1
Mais là je suis bloquer je suis censé trouver E(X)=(n+1)/2
j'ai énormément de mal avec les séries donc je ne suis même pas sur de moi à ce niveau
si quelqu'un pourrait me donner un petite coup de main c'est pas de refus
Merci d'avance
Bonjour,
Loi uniforme ,donc toute valeur i a même poids 1/n :
Pour la somme 1 + 2 + 3 + ... + n
n + n-1 + n-2 + .. + 1
soit n*(n+1)/2 ,
Alain
je suis désolé mais je ne vois pas le rapport avec la fonction génératrice
je m'escuse!
Merci quand même
Laurine
Bonjour,
on ne voit pas bien ce que tu as écrit malheureusement.
Pourrais tu ré-écrire ce que tu fais proprement?
Ta relation entre espérance et fonction génératrice est fausse... c'est normal que tu n'y arrives pas.
Tu dis que G'=E[x]
Or ce qui est à gauche est une fonction et ce qui est à droite est un nombre, il y a donc très peu de chance que ça ai pu marcher...
D'après mon cours E(X)=Gx'(1)
Donc je veux d'abord calculer pour k allant de 0 à n
Gx(t)= somme((t^k)*P(x=k))
p(x=k)=1/n
Gx(t)=somme(t^k)/n=(1-(t^(n+1)))/(n+1)(1-t)
Calculons maintenant la dérivée
Gx'(t)=[-(n+1)(t^n)(1-t)-(1-(t^(n+1)))(-1)]/(n+1)(1-t)^2
Gx'(t)=[-(n+1)(t^n)+(n+1)(t^(n+1))+1-(t^(n+1))]/(n+1)(1-t)
Gx'(t)=[n*(t^(n+1))+1-(n+1)(t^n)]/(n+1)(1-t)^2
et après je ne sais plus quoi faire
Merci d'avance
Voila comment j'aurais calculé la fonction génératice :
Et je dériverai dès là comme l'indique Alain, car c'est bien plus facile de calculer au point 1 par la suite.
Bonjour,
La fonction
n'est pas définie pour x=1.
Il est donc nécessaire de bien distinguer les étapes:
,
développement
et ensuite x=1 ,de cette manière nous obtenons
la fonction génératrice pour p lancers .
,
Alain
Oui je vous déjà un peu plus la seul chose qui me gêne encore c'est pour de
g(1)=1+2+3+4+5+6+...+n=(n+1)*n/2
je ne vois pas du tout pourquoi ça deviens cette fraction
je suis désolé je suis longue à la détente
Merci beaucoup
Laurine
Bonjour,
pour ce qui est de la moyenne en passant ainsi, je trouve que ça revient à tourner en rond puisque c'est essentiellement la définition de la moyenne...
Pour ce qui est de l'égalité entre 1+2+...+n et n(n+1)/2 c'est un truc que tu dois absolument savoir...
Il existe plusieurs façon de le montrer. Une façon visuelle serait de considérer une grille de taille nxn.
Trace une diagonale, par exemple celle qui va de en bas à gauche vers en haut à droite.
En considérant les éléments de la diagonale, combien y a t'il de cases sous la diagonale?
Il y en a tout d'abord 1 (celui de la diagonale dans la 1e colonne), puis 2 (diagonale + celui en dessous dans la 2e colonne) puis 3 (diagonale + les 2 en dessous dans la 3e colonne) etc. puis n.
Au total, il y en a 1+2+...+n.
Une autre façon de les compter serait de dire qu'il y a n^2 éléments dans la grille, donc il y en a x en haut de la diagonale, et donc x en bas de la diagonale.
Puisqu'il y a n cases diagonales+x en haut + x en bas et qu'en tout on en a n^2 on a
2x=n^2-n et donc x=n(n-1)/2.
En ajoutant ceux sur la diagonale on en a n(n-1)/2+n=n(n+1)/2.
D'un côté on a montré que les cases sur et sous la diagonales étaient au nombre de 1+2+...+n.
De l'autre côté on a réussi à montrer qu'il y en avait exactement n(n+1)/2.
Les deux doivent être égaux.