Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Master ProbabilitésTopics traitant de probabilités [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Master
Partager :

espérance et fonction de répartition dans le cas discret

Posté par
twanmal 29-01-15 à 15:58

Bonjour, je cherche à démontrer l'égalité suivante dans le cas d'une VA X positive avec F_X(x)=P(X \leq x )

E[X] = \int_0 ^ \infty ( 1 - F_X(x) ) dx

dans un premier temps, je cherche à démontrer dans le cas discret :

\sum_0 ^ \infty X_i P(X=X_i)  = \int_0 ^\infty  P( X \geq x) dx


Quelqu'un aurait-il une idée de la discrétisation à appliquer dans la forme intégrale de la dernière égalité ?

Merci encore

Posté par
Robotre : espérance et fonction de répartition dans le cas discret 29-01-15 à 16:03

Tu es sûr que P(X\geq x)=1-P(X\leq x) ?

Posté par
twanmalre : espérance et fonction de répartition dans le cas discret 29-01-15 à 16:10

bonjour Robot,
oui veux-tu dire : P(X > x) ?
En effet.

Posté par
Robotre : espérance et fonction de répartition dans le cas discret 29-01-15 à 16:25

P(X\leq x)= P(X\leq x_i) pour tout x\in [x_i,x_{i+1}[, n'est-ce pas ?

Posté par
twanmalre : espérance et fonction de répartition dans le cas discret 29-01-15 à 16:47

oui, selon la discrétisation choisie...

Posté par
Robotre : espérance et fonction de répartition dans le cas discret 29-01-15 à 16:50

Bon ben tu as tout ce qu'il faut. Je suppose que tu sais intégrer une fonction en escalier.

Posté par
twanmalre : espérance et fonction de répartition dans le cas discret 29-01-15 à 17:51

Salut Robot,
j'ai du mal à te suivre. Je vois certes la fonction en escalier P(X = X_i ),
mais
1)pars-tu de la première intégrale avec 1-P(X \leq x ) ou bien de la seconde forme avec P( X \geq x) ?

2)si je pars de cette deuxième forme, j'obtiens quelque chose comme :

\Sigma_{i=0} ^n ( x_{i+1} -x_i )P(X \geq X_i) non ? Et j'ai du mal à ramener cette forme à l'espérance de X...

3) A-t-on aussi P(X \geq x_i) = \Sigma_{j=i} ^n P(X = X_i) ?

Posté par
Robotre : espérance et fonction de répartition dans le cas discret 29-01-15 à 18:10

Tu insistes avec le P(X\geq x), bien que je t'aie fait remarquer que ce n'est pas correct ...

Je pars du début, de \int_0 ^ \infty ( 1 - P(X\leq x))\, dx, qui est l'intégrale de la fonction en escalier x\mapsto 1 - P(X\leq x) qui vaut 1 sur [0,x_0[ et 1-P(X\leq x_i) sur [x_i,x_{i+1}[.

Et je n'oublie pas que P(X=x_{i+1})=P(X\leq x_{i+1})-P(X\leq x_i).

Posté par
twanmalre : espérance et fonction de répartition dans le cas discret 30-01-15 à 12:21

Salut Robot et merci pour tes indications, je viens de calculer la somme. Pourrais tu jeter un oeil quand à l'exactitude de mon calcul ?

on tombe donc en sommant d'abord jusque n sur :

x_0 + \Sigma_{i=0} ^n [1-P(X \leq x_i]] ( x_{i+1}-x_{i})

=x_0 +[1-P(X \leq X_0)](x_1 -x_0)
         +[1-P(X \leq X_1)](x_2-x_1)
         +[1-P(X \leq X_2)](x_3-x_2)
....
         +[1-P(X \leq X_n)] (x_{n+1}- x_n)  

on voit bien que les x_i disparaissent jusqu'à x_{n}, et avec la dernière de tes égalités, on tombe donc sur


x_{n+1} + \Sigma_{i=0}^n X_i P(X=x_i) -  x_{n+1}* P(X \leq x_{n+1})

Puis par passage à la limite, la dernière probabilité est égale à 1 et on arrive au résultat.

As-tu une idée concernant la démonstration dans le cas continu ?

Merci pour ton aide !

Posté par
Robotre : espérance et fonction de répartition dans le cas discret 30-01-15 à 15:36

Citation :
on voit bien que les x_i disparaissent jusqu'à x_{n}

Non, moi je ne le vois pas. Et quand tu dis "on arrive au résultat", de quel résultat s'agit-il ?
En plus, il y a à la fois dans ton écriture des X_i et x_i. Pourquoi cette différence ? Juste une coquille ?

Posté par
twanmalre : espérance et fonction de répartition dans le cas discret 30-01-15 à 16:06

Salut Robot,
en effet, coquille.
Les x_i se télescopent jusque x_{n+1} non ?

Posté par
Robotre : espérance et fonction de répartition dans le cas discret 30-01-15 à 16:10

Non.

Posté par
twanmalre : espérance et fonction de répartition dans le cas discret 30-01-15 à 16:46

Alors là je ne te comprends plus...

Posté par
Robotre : espérance et fonction de répartition dans le cas discret 30-01-15 à 16:53

Qu'appelles-tu "se télescopent" ? En tout cas, ils ne disparaissent pas !

Posté par
twanmalre : espérance et fonction de répartition dans le cas discret 30-01-15 à 17:01

Avec le 1 dans chaque membre de l'addition ?

Posté par
Robotre : espérance et fonction de répartition dans le cas discret 30-01-15 à 20:15

Mais il n'y a pas que le 1. Essaie donc de formuler les choses précisément (par exemple quand on écrit que quelque chose disparait, c'est qu'il n'y en a plus après, non ?), et sans mélange entre les X_i et les x_i. Je pense que tu vois ce qui se passe, mais que tu le formules mal.

Posté par
twanmalre : espérance et fonction de répartition dans le cas discret 30-01-15 à 23:21

Oui, en effet quelques erreurs d'indices et de majuscules au lieu de minuscules. Mais en effet, je  vois ce qui se passe.
Maintenant Robot, je cherche à démontrer le tout dans le cas continu avec la théorie de l'intégration, une autre paire de manche !

Posté par
twanmalre : espérance et fonction de répartition dans le cas discret 02-07-20 à 17:58

je me réponds à moi-même après 5 ans, toutes mes dents et un peu de connaissances en fonction indicatrices. Il s'agissait de montrer que

   E[X] = \int_0^{\infty} [1-F_X(x)] dx , pour X V.A. >0


Je prends le côté droit de l'équation :

B= \int_0^{\infty}  [ 1-F_X(x) ] dx

  =  \int_0^{\infty}  [1-P(X \le x)] dx  , en changeant la notation de F à P.

=  \int_0^{\infty} P(X > x) dx

= \int_0^{\infty}  \int_x^{\infty}  f_X(t) dt  dx   , si  X admet une densité f

= \int_0^{\infty}  \int_0^{\infty}  f_X(t)1_{t>x} dt  dx   , en introduisant l'indicatrice

= \int_0^{\infty}   \int_0^{\infty}  f_X(t) 1_{t>x} dx  dt   , en utilisant fubini et en espérant qu'il marche dans mon cas où X est une VA positive.

= \int_0^{\infty} \int_0^{\infty} f_X(t)1_{x<t} dx  dt    , je change le sens de l'inégalité dans l'indicatrice.

= \int_0^{\infty}  f_X(t)\int_0^{\infty}1_{x<t} dx  dt ,  en traitant l'intégration en  x à la partie concernée.

= \int_0^{\infty}  f_X(t) \int_0^{t} dx  dt    , en faisant "repasser" l'indicatrice dans les bornes de l'intégrale.

= \int_0^{\infty}  f_X(t)  t  dt = E[X]

donc on a bien

  \int_0^{\infty} [ 1 - F_X(x) ] = E[X]

Posté par
Kernelpanicre : espérance et fonction de répartition dans le cas discret 03-07-20 à 00:33

Bonsoir twanmal,

Fubini-Tonelli est vrai pour toute fonction mesurable positive (v.a positive en proba) donc le texte suivant la ligne 6 n'est pas nécessaire. Si tu as fait un peu de théorie de la mesure de Lebesgue, tu peux te passer de l'hypothèse de densité, sinon c'est bien sauf erreur


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !