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espérance et intégration par parties

Posté par
garnouille 26-02-21 à 05:49

Bonjour

J'aurais besoin d'aide pour la question suivante car mon travail n'aboutit pas :

A l'aide d'une intégration par parties, calculer l'espérance de la variable aléatoire X de densité f avec :

f(x)=0\: si\, x\leq 0\ et\; f(x)=\frac{2e^x}{(1+e^x)^2}\: si\: x>0


je trouve :

E(X) = 1+2\int_{0}^{+\infty }{\frac{1}{1+e^t}}dt

et maintenant, que faire ?
telle est ma question !
merci pour vos conseils

Posté par
GBZMre : espérance et intégration par parties 26-02-21 à 07:45

Bonjour,
Peux-tu expliquer pourquoi tu trouves cette expression pour l'espérance de X ?

Posté par
DOMOREAespérance et intégration par parties 26-02-21 à 09:27

bonjour,
c'est en effet la présence du 1 qui est problématique

Posté par
garnouillere : espérance et intégration par parties 26-02-21 à 09:30

oui bien sûr mais ma connexion est très mauvaise et j'ai perdu tout ce que j'ai tapé en latex...

E(X) = \int_{0}^{+\infty }{\frac{2te^t}{(1+e^t)^2}}dt

avec u'(t) = e^t / (1+e^t)²  , on a u(t)=-1/(1+e^t)
v(t)=2t,    on a v'(t) = 2

en intégrant par parties :

E(X)=\left[\frac{-2}{1+e^t} \right]^{\infty }_{0}+2\int_{0}^{+\infty }{\frac{1}{1+e^t}}dt


E(X) = 1+2\int_{0}^{+\infty }{\frac{1}{1+e^t}}dt

Posté par
DOMOREAespérance et intégration par parties 26-02-21 à 09:39


\int uv'=[uv]-\int u'v revois ton crochet

Posté par
GBZMre : espérance et intégration par parties 26-02-21 à 09:46

Tu t'es trompé dans l'intégration par parties :

\large \int_a^b u'(t)v(t)\,dt = [u(t)v(t)]_a^b - \int_a^bu(t)v'(t)\,dt\;.

Pour l'intégrale qui te reste, un changement de variable s'impose.

Posté par
garnouillere : espérance et intégration par parties 26-02-21 à 09:50

oups...

avec u'(t) = e^t / (1+e^t)²  , on a u(t)=-1/(1+e^t)
v(t)=2t,    on a v'(t) = 2

en intégrant par parties :
\\ E(X)=\left[\frac{-2t}{1+e^t} \right]^{\infty }_{0}+2\int_{0}^{+\infty }{\frac{1}{1+e^t}}dt




E(X)=0+2\int_{0}^{+\infty }{\frac{1}{1+e^t}}dt \\

Posté par
matheuxmatoure : espérance et intégration par parties 26-02-21 à 09:59

bonjour

pour l'intégrale restante, multiplie en haut et en bas par e-t

Posté par
garnouillere : espérance et intégration par parties 26-02-21 à 10:06

Merci à tous (Mauruuru)

J'ai une connexion qui coupe souvent, du coup, je perds ce que je tape mais grâce à vos indications, j'ai fini par trouver  E(X)=ln(2)

Je vais me coucher, décalage horaire oblige
(Il est 23h à Tahiti)

Posté par
matheuxmatoure : espérance et intégration par parties 26-02-21 à 10:08

(je pense que c'est faux... mais bonne nuit )

Posté par
garnouillere : espérance et intégration par parties 26-02-21 à 10:10

J'ai trouvé avec un changement de variable en décomposant en deux fractions de dénominateur u et 1+u... mais j'essaierai de retenir l'astuce de matheuxmatou

Encore merci pour vos (bons) conseils

Posté par
GBZMre : espérance et intégration par parties 26-02-21 à 10:11

N'oublie pas ton facteur 2.

Posté par
matheuxmatoure : espérance et intégration par parties 26-02-21 à 10:12

(si tu veux qu'on corrige ta méthode (ce qui est plus instructif pour toi), expose-nous la quand tu seras reposé )

Posté par
matheuxmatoure : espérance et intégration par parties 26-02-21 à 10:12

(oui, il manque juste le facteur 2)

Posté par
garnouillere : espérance et intégration par parties 26-02-21 à 10:16

Après relecture  :
E(X) = 2ln(2)

Posté par
matheuxmatoure : espérance et intégration par parties 26-02-21 à 10:16

voilà

Posté par
lafol Moderateurre : espérance et intégration par parties 27-02-21 à 22:52

Bonjour/bonsoir
pour les problèmes de connexion qui saute et de texte perdu, un add-on bien utile pour firefox ou chrome (mais qui existe sans doute pour les autres navigateurs) : Textarea Cache
ça garde en mémoire ce que tu as tapé il n'y a plus qu'à le recoller une fois la connexion rétablie


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