La somme partielle de la série harmonique xn=1+...+1/n vérifie ce critère, mais diverge, donc n'est pas de Cauchy

Bien vu piepalm;
Et si on ajoute l'hypothèse ?

Essaie quelque chose du genre sin(n qui doit vérifier le critère, mais ne pas converger...

Bonjour à tous

Je viens d'essayer le contre-exemple de piepalm et je crois bien que ça marche.
En effet :

.

Or converge vers 0 (ça se voit mieux en utilisant l'expression conjuguée).
Donc le tout tend vers 0. Pourtant, la suite ne converge pas.

Kaiser

Non, pardon, je crois qu'il faut plutôt prendre xn=sin(ln(n))
x(n+p)=sin(ln(n+p))=sin(ln(n(1+p/n)))=sin(ln(n)+ln(1+p/n))=sin(ln(n))cos(ln(1+p/n)) +cos(ln(n))sin(ln(1+p/n))
donc x(n+p)-xn=sin(ln(n))(cos(ln(1+p/n))-1)+cos(ln(n))sin(ln(1+p/n))
qui tend bien vers zéro puisque les sin et cos de ln(n) sont bornés et que leurs facteurs tendent vers zéro.

Bonjour,
pour continuer sur cette idée:

1-quelles sont les limites possibles des suites extraites de sin(racine(n))?
2-quelle condition imposer sur (Un) pour que la condition d'elhor, implique que le caractère Cauchy?

Bonjour Otto

J'ai vu ça en spé : pour tout réel a compris entre -1 et 1, il existe une suite extraite de () qui converge vers a.

Kaiser

Oui exact.
Je pense que l'on peut faire mieux que ca, dans le cas complexe:
Pour tout complexe a, il existe une suite extraite qui converge vers a.

De manière constructive c'est nettement moins drôle

Tu parles de quelle suite, là ?

Je parle du sinus que l'on avait (racine de n ou pas, ca ne change rien) (à la limite, on pourrait parler de toute fonction impaire et développable en série entière sur tout compact, je pense)

D'accord, mais tu disais : Pour tout complexe a, il existe une suite extraite qui converge vers a.

Ici, la suite à laquelle tu faisais allusion, c'était une suite où il y avait du sinus (mais par exemple, il y a quoi dans le sinus). Parce que n'oublie pas que est une suite réelle.
J'ai peut-être pas saisi ce que tu voulais dire.

Oh, je délire probablement
Il faut que je réflechisse effectivement à une suite où ce serait possible, désolé de la confusion.
A+

Ok, ce que je voulais dire était plutôt ceci:
Pour tout a complexe, existe t'il 2 suites Un et Vn d'entiers telle que |Un+iVn| diverge vers l'infini et telle que sin(Un+iVn) converge vers a.

Est ce que ca aurait du sens ceci?
J'ai l'impression de m'embourber plus qu'autre chose...

ça donne à réfléchir.
Mais, tu es sur de ce résultat ou alors ce n'est que "la conjecture d'Otto"

Disons que je suis sur d'un résultat similaire, mais je n'ai pas vraiment prouvé que ces résultats étaient (ou non) équivalents...

"Soit W un nombre complexe quelconque, alors on peut trouver (Zn) qui converge vers 0 et telle que sin(1/Zn) converge vers W."

Je pense que ma condition Un et Vn des suites de nombres entiers étaient donc de trop. Mettons que ce sont des suites réelles.

Ce qui est assez amusant dans ce résultat (du à Riemann probablement?) c'est que si on veut prolonger sin(1/z) par "continuité", il y'a tout le plan complexe comme candidat possible.
Finalement c'est l'exemple même d'une fonction non continue, et on ne peut pas faire pire que ca.
En faisant le changement de variable x=1/u on se ramène à l'infini et au problème que je pose, je pense.
A+

Voulez-vous cauchy avec moi ?

Pour en revenir au critère proposé par elhor, je pense qu'il n'apporte pratiquement rien, en terme de convergence, de plus que le fait que x(n+1)-xn tende vers zéro, c'est à dire que le terme général de la série des différences tende vers zéro...

Bonsoir à tous et merci pour vos réponses.
C'est exact piepalm,le critère que j'ai proposé est équivalent à dire que qui ajouté à donne quand m^me un résultat assez intéréssant:
Sauf erreur de ma part...

Tient donc,
et dans le cas où xn n'est plus un nombre, mais un élément d'un espace vectoriel normé, qu'est ce que l'on obtient comme ensemble de valeurs d'adhérence? Un convexe?

Cordialement,
Otto

c'est marrant que tu dises ça parce qu'on s'était posé la même question en classe de spé l'an dernier et on pensait que ça pouvait être un ensemble connexe par arcs. Maintenant, je n'ai jamais eu la réponse.

Je ne sais pas trop, je ne me suis jamais penché sur le résultat, mais connexe par arcs, me semble assez honnête, mais je me demande si c'est vrai. Et si on ne peut pas avoir plus à la limite...

Convexe me parrait trop en revanche.

Par contre, à ton avis, est-ce qu'on pourrait avoir un compact.
En effet, dans le cas des suites réelles bornées, on sait qu'il existe une plus grande et une plus petite valeur d'adhérence. Ainsi, l'ensemble des valeurs d'adhérences de la suite est un segment. Donc pourquoi pas compact dans le cas d'un espace vectoriel normé ? Qu'en penses-tu ?

Dans le cas où (xn) converge, on a déjà un compact non?

C'est vrai, un ensemble réduit à un point est bien compact.

Aurais tu un exemple où ce n'est pas compact?

Qu'est-ce qui n'est pas compact ?

L'ensemble des valeurs d'adhérence de x_n.

Je ne sais pas trop. je pense que démontrer ce résultat s'il est vrai ou donner un contre-exemple sera très difficile et j'avoue ne pas savoir comment m'y prendre. Encore une fois, ce n'est qu'une intuition, rien de plus.

Bonsoir otto et kaiser;
avec l'ensemble des valeurs d'adhérences de est par définition c'est donc un fermé et comme est supposée bornée c'est un compact de (ou )
Le critère de cauchy est équivalent à dire que

Sauf erreurs...

Bon voilà, ça c'est fait !
ce résultat m'avait complètement échappé.
Reste à savoir si ça peut être un convexe ou un connexe par arcs.

posté par : kaiser

En effet, dans le cas des suites réelles bornées, on sait qu'il existe une plus grande  et une plus petite valeur d'adhérence. Ainsi, l'ensemble des valeurs d'adhérences de la suite est un segment.

Hein?? Et la suite ??

... je pense que tu sous-entendais la condition d'elhor_abdelali ?

Bonjour;
Je donne une démonstration du résultat suivant:
L'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite réelle vérifiant est un segment.
Comme on sait que c'est un compact il suffit de montrer que c'est un intervalle.
Soit alors deux valeurs d'adhérence de la suite et raisonnons par l'absurde en supposant que ne soit pas une valeur d'adhérence de ,il existerait donc tel que l'intervalle ne contienne aucun terme de la suite (il va de soit que ) et vu que on a aussi l'existence d'un rang tel que pour tout et vu aussi que est valeur d'adérence de on sait qu'il existe tel que faisons un dessin pour voir ce qui se passe (voir image attachée)
il est facile de voir que (une récurrence par exemple)
Et ceci est bien entendu absurde puisque signifie que l'intervalle ne contient qu'un nombre fini des termes de la suite alors qu'il est sensé en contenir une infinité vu qu'il contient la valeur d'adhérence .

Sauf erreurs bien entendu

Bonsoir à tous

je sais que ce topic date de plus d'un mois mais je pense qu'il était intéressant de revenir dessus et plus particulièrement sur la question suivante :
Soit E un espace vectoriel normé et une suite bornée de E avec qui tend vers 0.
Dans le cas réel, nous savons que l'ensemble des valeurs d'adhérence de cette suite est un segment et nous avions conjecturé dans le cas général que cet ensemble pouvait être connexe par arcs, ou au moins connexe.
A présent, je suis en mesure de vous donner la réponse à cette question mais seulement en dimension finie. En effet, dernièrement en voulant faire des recherches sur Internet, je suis tombé par hasard sur la démonstration de cé résultat.
Là voici :

Notons V l'ensemble des valeurs d'adhérences de cette suite.
Supposons par l'absurde que cet ensemble n'est pas connexe. Il existe donc deux fermés disjoints non vides et tels que V=F₁F₂.

Comme ces deux fermés sont disjoints et non vides la distance d entre ces deux ensembles existe et est strictement positive.

Posons (pour être tranquille).
Considérons .
Alors à partir d'un certain rang, tous les termes sont dans V'.
En effet, dans le cas contraire, il existerait une infinité de termes de la suite qui se trouve en dehors de cet ensemble et comme E est de dimension finie et que la suite est bornée, cela implique que la suite admette une valeur d'adhérence qui se trouve alors à une distance au moins égale à (qui est strictement positive) de V, ce qui est absurde car on dans V, il y a toutes les valeurs d'adhérences de la suite.
Notons n₀ le plus petit indice du terme de la suite qui se trouve dans V'
Comme tend vers 0, alors il existe un entier n₁ tel que pour tout n supérieur à , .
est dans V', donc il est soit dans , soit dans mais pas dans les deux.
En effet, ces 2 ensembles sont disjoints car la distance entre ces deux ensembles est au moins égale à .
Supposons par exemple que est dans
Comme tous les termes de la suite sont dans V' à partir du rang N, alors est soit dans , soit dans .
Nous savons par hypothése que .
Supposons par l'absurde que soit dans .
Or , ce qui est absurde.
On en déduit que est dans et par récurrence immédiate, tous les termes de la suite d'indice supérieur à N sont dans cet ensemble et donc toutes les valeurs d'adhérence de la suite sont dans , d'où est vide ce qui contredit l'hypothèse de départ.
On en déduit donc que V est connexe.

Kaiser

Bonsoir;
Bravo kaiser et merci d'avoir donné suite à ce topic.
On sait maintenant que l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite d'éléments de qui soit bornée et vérifiant est un compact connexe.

Bonjour

Je t'en prie elhor_abdelali !

Kaiser