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Estimateur biaisé

Posté par
matix 29-06-08 à 15:51

Bonjour,

Dans un exo, on me demande, à partir du calcul de E(T_1), de déduire que l'estimateur T_n est biaisé.

Voici les données utiles:

S_n=\sum_{i=1}^n X_i
T_n= \frac{n}{S_n}
E(X_i)=\frac{1}{\theta}
Var(X_i)=\frac{1}{\theta^2}
Les X_i sont des variables indépendantes aléatoires suivant la même loi exponentielle de paramètre \theta. Et on a f_{X_i}(x)=\theta e^{-\theta x}.

J'ai déjà montré que T_n est un estimateur convergent de \theta. Et d'après ce que je sais, on dit que T_n est biaisé si on a b(T_n)=E(T_n) - \theta \not = 0. Mais là, on me demande de calculer uniquement T_1 et d'en déduire le résultat, je ne comprends pas trop où l'on veut en venir... surtout que je trouve que E(T_1) = \theta et que du coup b(T_1)=0, ce qui rendrait contradictoire ce que l'on nous demande d'établir!

Pouvez-vous m'éclairer un peu svp?
Merci d'avance.

Posté par
stokastikre : Estimateur biaisé 29-06-08 à 18:42

Salut,

D'abord je pense que tu t'es planté dans E(T_1).

Sinon la définition d'estimateur non biaisé, ce serait pas E[T_n]=\theta quel que soit n ? Que dit ton cours ?

Posté par
matixre : Estimateur biaisé 29-06-08 à 20:08

Dans mon cours, on dit que l'estimateur (ici) est non biaisé si on a E(T_n) - \theta = 0 quelque soit n. Or ici, on demande de montrer qu'il est biaisé.

Comment calcules-tu E(T_1) toi? Et à quoi cela sert de le calculer seulement pour n=1?

Posté par
stokastikre : Estimateur biaisé 29-06-08 à 20:16

Hhhhmmmm je vois que tu as des difficultés avec la logique de base...


4$\left[\text{estimateur sans biais}\right] \Longleftrightarrow \left[\forall n, \quad E(T_n)=\theta \right]

par les principes de base de logique:

4$\left[\text{estimateur avec biais}\right] \Longleftrightarrow \left[\exists n, \quad E(T_{n})\neq \theta \right]

Si tu montres que  E(T_{n})\neq \theta avec n=1, tu as donc montré que l'estimateur est biaisé


Citation :
Comment calcules-tu E[T_1] toi?


Je te retourne la question...

Posté par
matixre : Estimateur biaisé 29-06-08 à 20:23

Ok!

Pour ce qui est de E(T_1), il me semble que c'est:

E(T_1)= E(\frac{1}{S_1})=E(\frac{1}{X_1})

Et puisque quelque soit i, on a E(X_i)=\frac{1}{\theta}, alors \displaystyle E(\frac{1}{X_1}) = \frac{1}{\frac{1}{\theta}} = \theta .. non? J'avoue quand même ne pas être sûr de ce dernier point..

Posté par
stokastikre : Estimateur biaisé 30-06-08 à 06:52

Ben voyons... non non l'espérance ne commute pas avec les fonctions comme ça.

Dans ton cours tu devrais avoir une formule pour calculer l'espérance E[h(X)] pour une fonction h quand tu connais la loi de X (la densité).

À appliquer ici avec X=X_1 et h(x)=1/x

Posté par
matixre : Estimateur biaisé 30-06-08 à 07:33

Bon, en effet... J'ai retenté, mais le résultat que je trouve ne me convient pas, j'ai dû faire une autre erreur...

En effet, en faisant E(T_1) = E(\frac{1}{X_1})=\int_0^{+ \infty} \frac{1}{x_1} \, \theta \, e^{- \theta \, x} \, dx, je trouve E(T_1)=\frac{1}{x_1}, alors que pour "bien faire", il aurait été mieux que cette espérance diverge... non?

Posté par
stokastikre : Estimateur biaisé 30-06-08 à 07:43

?? Réveille-toi l'ami c'est quoi ce x_1 ??

Posté par
matixre : Estimateur biaisé 30-06-08 à 16:29

Il intervient à partir du 1/X_1... Je suppose qu'il doit falloir plutôt écrire x à la place de x_1, mais je ne vois pas pourquoi... En admettant qu'on ait eu 1/X_1 + 1/X_2, on l'aurait remplacé alors par 1/x + 1/x??? Je ne suis plus trop là...

Posté par
stokastikre : Estimateur biaisé 30-06-08 à 17:13

Tu as l'ai largué l'ami. Rappel :

4$\int f(x) dx= \int f(u) du

Posté par
stokastikre : Estimateur biaisé 30-06-08 à 17:14

Citation :
En admettant qu'on ait eu 1/X_1 + 1/X_2...


Remets les choses dans leur contexte. Que dit ton cours ?


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