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Estimateur de loi exponentielle
Bonsoir à tous,
Je poste ce message car en ce moment, nous sommes en train d'étudier les estimateurs statistiques et plus particulièrement celui du maximum de vraisemblance.
Le but est de trouver un estimateur, avec cette méthode pour le paramètre d'une loi exponentielle. On a donc X, une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre a. et on cherche à estimer ce a.
Avec la méthode, on trouve â = 1/(xbarre) (x barre = moyenne des x)
jusque là, aucun soucis. Je bloque au moment de l'étude des propriétés, il faut que je prouve la convergence en proba de mon estimateur vers a. Je dois donc prouver que la limite de la variance de mon estimateur vaut 0 quand n tend vers l'infini, sauf que pour en trouver la formule, et bah je galère, pour l'instant j'ai ça:
mais après ça, les résultats que je trouve ne me convienne pas ^^
Merci d'avance de votre aide et bonne soirée
Bonsoir,
Je ne connais pas l'étendu de tes connaissances sur le domaine, mais
(a) la somme de n variables aléatoires i.d.d. de loi Exp(a) suit une loi Gamma(n,a) ;
(b) l'inverse d'une variable aléatoire de loi Gamma(n,a) suit une loi Inv-Gamma(n,1/a).
Ah, mais attends, tu as écrit que tu devais montrer la convergence en probabilités de ton estimateur vers a.
Alors que la méthode dont tu parles sert à montrer la convergence en moyenne quadratique. Et, puis, cela se résume à montrer que la variance tend vers 0 uniquement dans le cas d'un estimateur sans biais. Or, ici, il est biaisé...
Bref, ici, vu ton énoncé, il suffit d'appliquer la loi des grands nombres et tu conclus directement...
(Entre temps, je me suis aperçu que j'avais fais une erreur sur ma condition concernant l'espérance, qui doit tendre vers mon paramètre, j'ai fais une erreur de calcul et du coup je me retrouve avec le même soucis).
Je ne comprends pas tellement le lien avec la loi des grands nombres ici. Généralement, on trouve toujours une expression en calculant la variance, ce qui permet d'avoir la limite de façon claire. Je ne devrai pas passer par cette méthode pour cet exemple c'est ça ?
Les sont i.i.d. et de loi Exp(a) donc, d'après la loi des grands nombres,
converge en probabilité vers
.
D'où qui converge en probabilité vers
.
j'ai réussi à retrouver la propriété sur l'espérance, en utilisant le théorème de continuité, mais pour la variance, je vois vraiment pas comment prouver qu'elle tend vers 0...
Désolé du double post, j'ai finalement réussi à trouver ma solution. En fait, j'avais mal utilisé mon théorème de continuité, je l'avais trop limité. Et du coup, en étudiant la convergence de la moyenne, j'ai réussi à étudier celle de son inverse. Je sais pas si c'est très clair mais en tout cas le soucis est résolu (enfin je crois bien haha ^^)
Merci beaucoup pour ton aide !
Au final, c'est ce que tu avais marqué, mais je ne comprenais pas du tout d'où ça sortait.
On a ça dans notre poly de cours, ils l'appellent aussi de mapping theorem.
En gros, ça dit que si on a une fonction g, à une seule variable. et Xn ,une loi qui converge en probabilité vers a. alors la suite g(Xn) converge en probabilité vers g(a). : lim g(Xn) = g(a) quand n tends vers l'infini
Ah, oui, bien sûr.
Enfin ça semble quand même naturel que si X tend vers a, alors 1/X tend vers 1/a.
Mais tout cela est justifié pour le théorème dont tu parles 
haha, c'est totalement vrai. j'avais pas du tout pensé à passer par ce théorème (on l'a vu il y a un bout de temps). m'enfin bref, il m'a bien aidé 
et effectivement pour la loi ^^ on ne dis que très rarement qu'on l'utilise dans les exos alors qu'en fait, on s'en sert en permanence...
Merci beaucoup en tout cas pour le temps que tu as consacré à ma question je te souhaite une bonne soirée et une bonne continuation 
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