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étude d extrema d une fonction de 2 variables

Posté par cos-taup (invité) 16-03-06 à 15:45

Bonjour à tous, mon problème est le suivant:
Soit f(x,y)=x^2/2-cos(y)*(4-x^2).Etudier les extréma de f sur IR*IR puis sur D=[-2,2]*IR.

Sur IR*IR je l'ai fait mais c'est sur D que je ne sais pas comment faire, pourriez-vous m'aider s'il vous plait?

Posté par
franzre : étude d extrema d une fonction de 2 variables 17-03-06 à 20:50

Comment détermines-tu \sqrt{ 4 -x^2} pour x \in {\mathbb R}\backslash[-2,2]?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : étude d extrema d une fonction de 2 variables 18-03-06 à 04:56

Bonsoir;
Pour \fbox{(x,y)\in[-2,2]\times\mathbb{R}} notons \fbox{f(x,y)=\frac{x^2}{2}-cos(y)\sqrt{4-x^2}}
En posant \fbox{x=2cos(t)\\t\in[0,\pi]} on a \fbox{f(x,y)=2(cos^2(t)-sin(t)cos(y))=2\vec{u}.\vec{v}} où \fbox{\vec{u}\(cos(t)\\-sin(t)\)\hspace{5}et\hspace{5}\vec{v}\(cos(t)\\cos(y)\)}
D'aprés l'inégalité de cauchy swhartz:
(*)f(x,y) atteind son maximum lorsque \vec{u} et \vec{v} sont colinéaires et de même sens c'est à dire lorsque \fbox{cos(y)=-sin(t)} ou encore \blue\fbox{cos(y)=-\frac{sqrt{4-x^2}}{2}} cette valeur maximale étant \blue\fbox{2}
(*)f(x,y) atteind son minimum lorsque \vec{u} et \vec{v} sont colinéaires et de sens contraires c'est à dire lorsque \fbox{cos(t)=0\\cos(y)=sin(t)} ou encore \blue\fbox{x=0\\cos(y)=1} cette valeur minimale étant \blue\fbox{-2}

Remarque:
(*)\fbox{f} atteind son maximum \fbox{2} sur l'ensemble \fbox{\{(x,\pm arcos(-\frac{sqrt{4-x^2}}{2})+2k\pi)/k\in\mathbb{Z}\}}
(*)\fbox{f} atteind son minimum \fbox{-2} sur l'ensemble \fbox{\{(0,2k\pi)/k\in\mathbb{Z}\}}
Sauf erreurs bien entendu




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