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Etude d'une CVN

Posté par
martizic
28-11-23 à 14:53

Bonjour à tous,
Voici un énoncé d'exercice avec lequel j'ai un peu de mal.

Etudier la CVN de la série de terme général fn de deux méthodes différentes.
Pour n ∈ N* et t ∈ R, soit fn(t) = \frac{arctan(nt)}{n^2}


Premièrement, j'ai montré que sup|fn(t)| \leq \frac{\pi }{2n^2}, et Σ \frac{\pi }{2n^2} converge donc CVN.

Ensuite, j'aimerais utiliser la technique d'étude de la dérivée.
fn'(t) = \frac{n}{1+(nt)^2}

Donc,
            |  0+                             +∞
------------------------------------
fn'(t) |                       +
------------------------------------
fn(t)   |               croissant

Ainsi,

sup|f_{n}(t)| = lim(t \rightarrow inf) de \frac{n}{1+(nt)^2} = 0


Or, Σ 0 converge.

Par conséquent, fn(t) est bel et bien CVN.


Mes deux raisonnements sont-ils corrects?

Posté par
Ulmiere
re : Etude d'une CVN 28-11-23 à 15:26

Oui pour le premier mais non pour le deuxième. Ce n'est pas parce qu'une suite tend vers zéro que la série de terme général cette suite converge. Par exemple \sum 1/n ne CV pas alors que 1/n tend bien vers 0.

Posté par
martizic
re : Etude d'une CVN 28-11-23 à 15:57

Bonjour, merci de votre réponse. Je suis au courrant que tend vers 0 n'implique pas forcément converge... néanmoins, dans le cas de la série nulle, elle converge bien non?
Sinon comment faire svp?

Posté par
Ulmiere
re : Etude d'une CVN 28-11-23 à 17:23

La série nulle converge, mais quel rapport avec le sujet ?
Là tu nous as écrit que le sup en t de |f_n(t)| est nul pour tout n, donc que toutes les f_n sont nulles. Ca contredit ton énoncé qui donne f_n(t) = arctan(nt)/n^2

Tu cherches peut-être à écrire \sum_n \frac{\arctan(nt)}{n^2} = \sum_{n} \int_0^{nt} \frac{1}{n(1+(ns)^2)} et à intervertir la somme et l'intégrale ?
Dans ce cas, il faut justifier proprement

Posté par
martizic
re : Etude d'une CVN 29-11-23 à 10:46

Bonjour,
Je ne comprends pas pourquoi une intégrale apparait dans la résolution du problème...
Je voulais utiliser la technique de déterminer le sup de la fonction, puis étudier la série du sup...
Est-ce que vous pouvez m'aider à déterminer le sup svp?

Posté par
carpediem
re : Etude d'une CVN 29-11-23 à 11:45

salut

pour calculer le sup de f il ne faudrait pas confondre f et f' ...

Posté par
martizic
re : Etude d'une CVN 30-11-23 à 17:37

Bonjour,
Pour calculer le sup de f, je dois étudier les variations de f non? Pour ceci, j'étudies le signe de f'.

Mon tableau de variation ci-dessus est faux?

Merci pour votre aide

Posté par
carpediem
re : Etude d'une CVN 30-11-23 à 18:27

bien sûr que tu étudies le signe de la dérivée pour obtenir les variation de la fonction

mais ensuite s'il y a un extremum c'est f qu'on regarde et pas f' ...

or ici ça me semble faux :

martizic @ 28-11-2023 à 14:53


sup|f_{n}(t)| = lim(t \rightarrow inf) de \dfrac{n}{1+(nt)^2} = 0
confusion entre f et f' il me semble

d'ailleurs il me semble aussi que f' est fausse ...

Posté par
carpediem
re : Etude d'une CVN 30-11-23 à 18:49

et d'ailleurs nul besoin de la dérivée :

les fonctions linéaires t --> nt et t --> arctan t sont (strictement) croissantes sur R donc leur composée aussi

et sup f = lim f(t) (quand t --> +oo)



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