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Etude d'une famille d'intégrales (niveau L1)

Posté par
ledimut 07-04-08 à 11:04

Bonjour,
Je suis en L1 Math, et j'ai résolu un exercice de DM sur l'étude des intégrales de Riemann définies par :
3$ \forall p,q \in \mathbb{N}, I(p,q) = \int_0^1 x^p (1-x)^q \mathrm{d}x.
1. Il fallait montrer que :
3$ \forall (p,q) \in \mathbb{N}* \times \mathbb{N}, I(p,q) = \frac{p}{1+q} I(p-1,q+1) .
Je l'ai fait par intégration par parties sans trop de souci.
2. On doit alors en déduire que :
3$ \forall (p,q) \in \mathbb{N}* \times \mathbb{N}, I(p,q) = \frac{p!q!}{(p+q+1)!} .
C'est là que j'ai proposé un raisonnement à mon sens pas très rigoureux  :
Soit 3$ p\in \mathbb{N}*, q\in \mathbb{N} .
Alors : 3$ I(p,q) = \frac{p}{q+1} I(p-1,q+1) = \frac{p}{q+1}\frac{p-1}{q+2} I(p-2,q+2) = ... = \frac{p}{q+1}\frac{p-1}{q+2}...\frac{1}{q+p} I(0,q+p) .
On montre ensuite que 3$ I(0,q+p) = \frac{1}{p+q+1} . (on revient à la définition de 3$ I(p,q)).
D'où le résultat.

Je ne suis pas très satisfait de cette solution avec "..." mais je n'arrive pas à résoudre la question "proprement" par récurrence. J'ai essayé en fixant un des 2 indices, mais cela ne fonctionne pas dans l'hérédité. J'ai aussi tenté un indice auxiliaire n=p-q (ou q-p je ne sais plus trop) mais là c'est l'initialisation qui pose souci.

Quelqu'un pourrait-il me dire comment démontrer cela par récurrence ?
Merci d'avance.

Posté par
rogerdEtude d'une famille d'intégrales (niveau L1) 07-04-08 à 11:10

Bonjour.

Je me contenterais quant à moi des "3 petits points". Ils dispensent d'une récurrence sans difficulté mais ennuyeuse à exposer.

Posté par
ledimutre : Etude d'une famille d'intégrales (niveau L1) 07-04-08 à 11:38

Merci de cette réponse !...
Oui effectivement la récurrence n'est pas compliquée : on voit très bien ce qui se passe avec "..." mais bon je ne trouve pas ça très très rigoureux.
Donc tant pis je vais le laisser comme ça mais je pense que ça va m'être reproché... Mon prof déteste les "..." !

Posté par
H_aldnoerre : Etude d'une famille d'intégrales (niveau L1) 07-04-08 à 11:46

Bonjour.
Petite idée peut-être, une récurrence double ?

Il s'agit de montrer que I(p,q)=\frac{p!q!}{(p+q+1)!} implique que I(p+1,q+1)=\frac{(p+1)!(q+1)!}{(p+q+3)!}. Je ne sais pas si le raisonnement est correcte, en tout cas il fonctionne très bien en utilisant l'hypothèse de récurrence ainsi que la relation I(p,q)%20=%20\frac{p}{1+q}%20I(p-1,q+1).

Perso, je ferais comme toi!


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