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Etude d'une fonction d'une variable complexe

Posté par
hugoel75 07-10-22 à 17:30

Bonjour,
J'ai un exercice sur les nombres complexes a finir mais je bloque a la dernière partie.
Enoncé :
F est la fonction définie sur C-{1} par F(z) =1 + z / 1 - z
On note x+iy avec (x; y) diffèrent de (1:0) la forme algébrique du nombre complexe z.
a) Exprimer en fonction de x et y la forme algébrique de F(z).
b) Déterminer l'ensemble des nombres complexes z pour lesquels F(z) est un nombre réel.
c) Quelle condition doivent vérifier x et y pour que F(z) soit un imaginaire pur?
Suite en photo
J'ai essayé de répondre a la question 1 et je trouve :
a) 1-x²-y²+2iy / (1-x)²+y²
b) Je pense que c'est lorsque y = 0 mais je ne suis pas sûr.
c) (x;y) = (0;1)
Je bloque aux questions 2 et 3 pouvez vous me dire si mes réponses a la questions 1 sont correctes et m'aider pour les 2 autres questions svp.
Merci d'avance

Etude d\'une fonction d\'une variable complexe

Posté par
carpediemre : Etude d'une fonction d'une variable complexe 07-10-22 à 17:47

salut

i serait bien de savoir qu'une fraction écrite en ligne nécessite des parenthèses !!

donc f(z) = (1 + z)/(1 - z)

si z = a + ib alors à quelle condition z est réel ? z est imaginaire pur ?

Posté par
Pirhore : Etude d'une fonction d'une variable complexe 07-10-22 à 17:49

Bonjour,

je crois que tu as oublié de lire et de te conformer à A LIRE AVANT DE POSTER OU DE RÉPONDRE, MERCI

un modérateur va supprimer "ton image"

recopie les points 2 et 3 en répondant à ton post ensuite on pourra t'aider

malou edit > ** non, non, Pirho, cette image est bien conforme au règlement **

Posté par
littleguyre : Etude d'une fonction d'une variable complexe 07-10-22 à 18:16

Bonjour Pirho,

Je croyais que lorsque l'énoncé est particulièrement long (ce qui est le cas ici) on pouvait n'en écrire que le début et proposer le reste sous forme d'image.  Mais peut-être ai-je tort.

Posté par
littleguyre : Etude d'une fonction d'une variable complexe 07-10-22 à 18:17

n'en n'écrire

Posté par
carpediemre : Etude d'une fonction d'une variable complexe 07-10-22 à 18:18

Pirho : il a bien recopié une "bonne" partie de l'énoncé

hugoel75 après avoir répondu aux questions de mon post précédent revois tes réponses ... si nécessaire ...

ensuite on passera aux questions suivantes ...

Posté par
carpediemre : Etude d'une fonction d'une variable complexe 07-10-22 à 18:19

littleguy @ 07-10-2022 à 18:17

n'en n'écrire
non tu avais raison au premier jet

il y a bien la négation puis ensuite c'est une liaison ...

Posté par
littleguyre : Etude d'une fonction d'une variable complexe 07-10-22 à 18:24

Bonjour carpediem.
Oui tu as raison. Le mieux peut être l'ennemi du bien.  

Posté par
hugoel75re : Etude d'une fonction d'une variable complexe 07-10-22 à 18:36

Z est un réel lorsque sa partie imaginaire est égal à 0 et Z est un imaginaire pur lorsque sa partie réel est égal à 0

Posté par
Pirhore : Etude d'une fonction d'une variable complexe 07-10-22 à 18:39

Bonjour à tous,

Citation :
malou edit > ** non, non, Pirho, cette image est bien conforme au règlement **

au temps pour moi

ça m'apprendra "à jouer" au gendarme

malou Edit > ** pas de souci Pirho, j'apprécie aussi qu'on nous aide **

Posté par
hugoel75re : Etude d'une fonction d'une variable complexe 07-10-22 à 18:56

Donc z est un réel si ib=0 et z est un imaginaire si a=0. C'est correct ?

Posté par
carpediemre : Etude d'une fonction d'une variable complexe 07-10-22 à 19:24

si b = 0 suffit car i n'est as nul !!

ok alors applique le à F(z)

Posté par
hugoel75re : Etude d'une fonction d'une variable complexe 07-10-22 à 19:53

Si je dit que F(z) = (1-x^2-y^2) / ((1-x)^2+y^2) + (2iy) / ((1-x)^2+y^2)
Im(z) = (2iy) / ((1-x)^2+y^2) et cela est égal à 0 lorsque y = 0 ?

Posté par
carpediemre : Etude d'une fonction d'une variable complexe 07-10-22 à 19:58

oui bien sûr

et l'autre ?

Posté par
hugoel75re : Etude d'une fonction d'une variable complexe 07-10-22 à 20:12

Et l'autre F(z) = (1-x^2-y^2) / ((1-x)^2+y^2) + (2iy) / ((1-x)^2+y^2)
Re(z) = (1-x^2-y^2) / ((1-x)^2+y^2) comme (x;y) doit être différent de (1;0), Re(z) = 0 lorsque (x;y) = (0;1) ?

Posté par
carpediemre : Etude d'une fonction d'une variable complexe 07-10-22 à 20:25

peux-tu écrire proprement ce que signifie Re(F(z)) = 0 ?

Posté par
hugoel75re : Etude d'une fonction d'une variable complexe 07-10-22 à 20:51

Re(z)=a correspond à la partie réel de Fe(z). Donc lorsque Re(z)= 0, Fe(z) est un imaginaire pur

Posté par
carpediemre : Etude d'une fonction d'une variable complexe 07-10-22 à 21:20

peux-tu me donner Re(F(z)) ? oui ou non ?

peux-tu ensuite traduire le fait que Re (F(z)) = 0 en écrivant simplement ce que ça signifie ici ?

Posté par
hugoel75re : Etude d'une fonction d'une variable complexe 07-10-22 à 21:25

Re(F(z)) = (1-x^2-y^2) / ((1-x)^2+y^2) ?
Re(F(z)) = 0 signifie que la partie réel est égal à 0 donc il s'agit d'un imaginaire pur ?

Posté par
carpediemre : Etude d'une fonction d'une variable complexe 07-10-22 à 22:15

si z = a + ib alors z est imaginaire pur <=> a = 0

ensuite si a/b = 0 alors a = 0

peut-on avoir enfin un résultat simplifié pour F(z)est imaginaire pur ?

Posté par
hugoel75re : Etude d'une fonction d'une variable complexe 07-10-22 à 22:40

Re(F(z)) = (1-x^2-y^2)
Imaginaire pur si (1-x^2-y^2) = 0 ?

Posté par
carpediemre : Etude d'une fonction d'une variable complexe 07-10-22 à 23:33

ha ben enfin !!!

et tu ne reconnais rien ? n'as-tu pas vu de telles équations en première ?

Posté par
hugoel75re : Etude d'une fonction d'une variable complexe 07-10-22 à 23:51

C'est l'équation d'un cercle ?

Posté par
carpediemre : Etude d'une fonction d'une variable complexe 08-10-22 à 10:35

il faut arrêter de oser des questions et affirmer ... après avoir réviser ...

;)

Posté par
hugoel75re : Etude d'une fonction d'une variable complexe 08-10-22 à 12:56

1-x^2-y^2 = 0 aboutit à l'équation de cercle suivante : (x-0)^2 + (y-0)^2 = 1^2
C'est donc un cercle C de centre (0;0) et de rayon r=1.
F(z) est un imaginaire pur pour tout x et y appartenant au cercle C en sachant que (x;y) est différent de (1;0)

Posté par
carpediemre : Etude d'une fonction d'une variable complexe 08-10-22 à 13:17

c'est donc le ... ce cercle est unique !

c'est aussi le cercle trigonométrique privé du point de coordonnées (1, 0) effectivement.

Posté par
hugoel75re : Etude d'une fonction d'une variable complexe 08-10-22 à 14:02

D'accord merci.
Pour la question 2 a Z2 = F(Z1) = (1+Z1) / (1-Z1). Je ne comprends pas comment exprimer Z3 en fonction de Z1

Posté par
carpediemre : Etude d'une fonction d'une variable complexe 08-10-22 à 14:12

z_1 \times z_2 = z_1 \times f(z_1) \\ \\ z_3 = f(z_2) = f[f(z_1)]

Posté par
hugoel75re : Etude d'une fonction d'une variable complexe 08-10-22 à 15:02

Z2 = F(Z1)
Z3 = F(Z2) = F[F(Z1)]
Z4 = F(Z3) = F[F(Z2)] = F[F(F(Z1))]
Z5 = F(Z4) = F[F(Z3)] = F[F(F(Z2))] = F[F(F(F(Z1)))]
Pour la forme algébrique je dois remplacer Z1 par (x1 + iy1) ?

Posté par
carpediemre : Etude d'une fonction d'une variable complexe 08-10-22 à 15:06

surtout pas puisqu'on te demande en fonction de z_1 !!

Posté par
hugoel75re : Etude d'une fonction d'une variable complexe 08-10-22 à 15:09

Ah oui pardon je dois remplacer Z1 par i puis par -i

Posté par
hugoel75re : Etude d'une fonction d'une variable complexe 08-10-22 à 15:14

Je trouve pour Z1 = i
Z2 = F(Z1) = (1+Z1) / (1-Z1) = (1+i) / (1-i) = (1+i) (1+i) / (1-i) (1+i) = (2i) / 2 = i
Mais maintenant je ne comprends pas comment calculer Z3 😅

Posté par
carpediemre : Etude d'une fonction d'une variable complexe 08-10-22 à 15:31

non relis la question ...

Posté par
hugoel75re : Etude d'une fonction d'une variable complexe 08-10-22 à 15:49

Je ne comprends pas mon erreur. J'ai bien exprimé Z2, Z3... en fonction de Z1 .
Et pour la forme algébrique de Z2 j'ai bien remplace Z1 par i ?

Posté par
carpediemre : Etude d'une fonction d'une variable complexe 08-10-22 à 15:53

non puisque tu as remplacé z_1 par i

on te demande de calculer z_1 \times z_2 = z_1 \times f(z_1)
en fonction de z_1

Posté par
hugoel75re : Etude d'une fonction d'une variable complexe 08-10-22 à 19:28

Oui mais ça on me le demande a la question b moi je suis à la 2eme partie de la question a.

Posté par
carpediemre : Etude d'une fonction d'une variable complexe 08-10-22 à 19:36

ha ok ...

ben oui c'est du calcul bourrin

ben tu recommences !!

si z_2 = f(z_1) = f(i) = i alors les calculs suivants semblent immédiats, non ?

puis idem lorsque z_1 =-i

Posté par
hugoel75re : Etude d'une fonction d'une variable complexe 08-10-22 à 21:54

Donc pour la question b :
Z1 X Z2 = Z1 X F(Z1)
Z3X Z4 = F[F(Z1)] X F[F(F(Z1))]
(Z1+Z3)(Z2+Z4) = Z1 X F(Z1) + Z1 X F[F(F(Z1))] + F[F(Z1)]  X F(Z1) + F[F(Z1)] X F[F(F(Z1))]

Posté par
carpediemre : Etude d'une fonction d'une variable complexe 08-10-22 à 22:14

il faut évidemment faire les calculs !!

que vaut f(z) ?

Posté par
hugoel75re : Etude d'une fonction d'une variable complexe 08-10-22 à 22:36

F(Z) = (1+Z) / (1-Z)

Posté par
carpediemre : Etude d'une fonction d'une variable complexe 08-10-22 à 22:54

alors qu'attends-tu ?

Posté par
hugoel75re : Etude d'une fonction d'une variable complexe 08-10-22 à 23:19

Je ne sais pas que vaut F[F(Z1)]

Posté par
carpediemre : Etude d'une fonction d'une variable complexe 09-10-22 à 08:34

f(z) = \dfrac {1 + z} {1 - z} \\ \\ f [f(z)] = \dfrac { 1 + f(z)}{1 - f(z)} = ...

Posté par
hugoel75re : Etude d'une fonction d'une variable complexe 09-10-22 à 12:41

F[F(F(Z1))] =

Etude d\'une fonction d\'une variable complexe

Posté par
carpediemre : Etude d'une fonction d'une variable complexe 09-10-22 à 13:31

et tu crois que ton prof va accepter un tel truc !!!

commence par calculer

carpediem @ 09-10-2022 à 08:34

f(z) = \dfrac {1 + z} {1 - z} \\ \\ f [f(z)] = \dfrac { 1 + f(z)}{1 - f(z)} = ... ceci

Posté par
carpediemre : Etude d'une fonction d'une variable complexe 09-10-22 à 13:31

et t'embête pas avec des indices !!

Posté par
hugoel75re : Etude d'une fonction d'une variable complexe 09-10-22 à 13:33

J'ai développé et je trouve pour F[F(Z1)] = (-1)/(Z1)
Et F[F(F(Z1))] = (Z1 - 1)/(Z1+1)

Posté par
carpediemre : Etude d'une fonction d'une variable complexe 09-10-22 à 13:41

je te fait confiance ...

il te reste z_4 et après tu pourras répondre à 2b/

Posté par
hugoel75re : Etude d'une fonction d'une variable complexe 09-10-22 à 13:46

Z4 correspond à F[F(F(Z1))] = (Z1 - 1)/(Z1+1) non ?

Posté par
carpediemre : Etude d'une fonction d'une variable complexe 09-10-22 à 13:52

ha oui ...

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