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Etude d'une fonction dont la primitive n'est pas calculable
Bonjour ! Rentrant en année supérieure, j'ai décidé de me remettre un peu dans les maths et j'ai trouvé un exercice particulièrement intéressant mais je bloque un peu.
Je dois faire une étude globale (ensemble de définition, parité, dérivabilité, variations) de la fonction F(x) = intégrale de 0 à x de exp(-t^2) dt
Evidemment, elle n'est pas calculable ^^
Pour l'ensemble de définition, je dirai que puisque la fonction sous l'intégrale est continue et définie sur R tout entier, la primitive est définie sur tout intervalle [a,b] avec a<b de R.
Pour la parité, la fonction sous l'intégrale est paire mais les bornes de l'intégrale se retrouve inversées donc je dirai impaire ?
La fonction sous l'intégrale est continue et définie sur R tout entier donc F est dérivable sur R.
Et les variations, je ne vois pas ^^
Merci de votre aide à tous 
!
salut
par définition F(x) = 
0x f(t)dt est l'unique primitive de f qui s'annule en 0
donc F' = .... ?
bonjour
ab f(x).dx = F(b) - F(a) avec F primitive de f
donc, 0x f(t).dt = F(x) - F(0) avec F(0) = Cte
donc F(x) = 0x f(t).dt + F(0) et sa dérivée est ?
l'ensemble de définition est tout simplement , pas besoin de
et encore moins de
Elle est bien impair, mais ta justification ne va pas...
.
Oui par la dérivabilité (en fait, avec tes argument, elle est dérivable par définition).
Pour les variations, il me semble que la dérivé est strictement positive sur tout , non ? donc ?
) F(+le pb des limites c'est que sans connaissance particulière ça va être difficile ... par contre on peut aller faire un tour en proba voir la loi normale ....
rem :: la dérivée de F est f (et non pas f(t) quiest un nombre) ...
Je suis confronté à un nouveau problème.
J'ai montré que e^x - 1 > x avec l'inégalité des accroissements finis sans aucun problème mais je dois en déduire que F(x) est inférieur ou égal à Pi/2 quelque soit x>0 et là je bloque.
Pouvez-vous me mettre sur la piste s'il vous plait ?
1/(1 + t²) puisque tu as montré que exp(s) 
1 + s pour tout s .Ah oui !
Ensuite on intègre entre 0 et x et on peut car les fonctions y sont définies et on a :
exp(-t^2) < ou = à arctan x et arctan x < ou = à Pi/2 d'où le résultat !
Merci beaucoup !
J'en profite pour vous demander une dernière petite chose parce que cet exercice est global et regroupe plusieurs notions essentielles.
En fait, si on attribue à cette fonction F une suite telle que Un+1=F(Un) et U0 est un réel.
1) Je dois dire si (Un) converge, quelle est sa limite. C'est le réel qui satisfait à l'équation L=F(L) car si Un converge vers L, alors Lim Un+1 = L = lim Un et lim F(Un) = F(L) enfin bref ^^. Peut-on le calculer avec cette intégrale un peu complexe ?
2) Je dois montrer que (Un) est monotone et en conclure si elle est convergente ou non ?
Je dois montrer qu'elle est strictement croissante je pense. Si U0=0 alors Un+1 = 0 et Si U0 > 0 alors Un+1>Un car F strictement croissante. (Y'a pas besoin de récurrence ?) Donc (Un) est monotone.
Et je dirai que vu que F est majorée alors (Un) aussi donc comme elle est croissante majorée, elle converge vers le réel L tel que L=F(L)
Est-ce exact ^^ ?
PS : Concernant la courbe de cette intégrale, elle ressemble un peu à la fonction arctangente ? Elle est croissante et converge vers Pi/2, et tend vers 0 quand x tend vers 0 et impaire donc symétrique par rapport à l'origine du repère, non ?
Pour tout x > 0 tu as : F(x) < x ; donc si a > 0 et u est la suite qui vérifie u(0) = a et u(n + 1) = F(u(n)) tu as u(1) = F(u(0)) = F(a) < a = u(0) et si pour un certain n 
, tu as u(n + 1) < u(n) , tu as aussi u(n + 2) < u(n + 1) puisque F est strictement croissante .
exp(-t²)sur [0 , x]Ah oui, j'obtiens bien F(x) < x.
Donc on a une suite décroissante. Pour qu'elle soit convergente, il faudrait qu'elle soit minorée ..
Ah oui effectivement ^^ !
Merci.
Par contre, quelqu'un aurait--il à disposition l'allure de F s'il vous plait ?
Elle ressemble à la fonction arctangente ?
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