Bonjour,

Pour la question 1, il faut effectivement voir que l'on peut prolonger f par continuité en 0 et f(0)=2.
Pour la limite du taux d'accroissement en 0, je trouve /2 à droite et -/2 à gauche donc, sauf erreur de ma part, f n'est pas dérivable en 0. Ceci se voit sur l'étude de fonction ci-dessous (faite pour = 1 donc pour le cas positif) et notamment sur le graphe. Ceci devrait faciliter la résolution des questions suivantes ...

Cordialement.

Merci homeya,
Mais J'ai tout de meme deux questions. Tout d'abord, J'ai du mal a voir comment a été arrangé la dérivée ( mise au meme dénominateur ? ), et Je reste bloquée face à mon taux d'accroissement..
Ou alors il me suffit de prendre la dérivée de remplacer x par 0 et il me reste simplement à calculer arctan(1/x) et effectivement on trouve -pi/2 et pi/2. C'est bien cela ? Puisque le taux d'accroissement en 0 revient à calculer f'(0) ?

Finalement, c'est ce que J'ai fait, mais Je reste bloquée sur les questions suivantes..

Pour le taux d'accroissement en 0, je trouve . Le premier terme tend vers 0 et le second vers -/2 et /2 (on raisonne normalement à partir du taux d'accroissement et pas de la dérivée).
Quelles sont les questions qui restent bloquantes ?

J'ai trouvé quelque chose de semblable pour le taux
Je reste bloquée sur les questions concernant le signe de f' suivant les valeurs de .

Je ne vois pas ce que Je peux tirer de f' lorsque <0.

Je pense que l'on peut raisonner de la manière suivante (sauf erreur de ma part).
Je trouve f⁽²⁾(x) = . Puisque a est négatif, la dérivée seconde est toujours négative. Par conséquent, f' est décroissante de /2 vers 2a (qui sont ses deux limites en 0 et +) et s'annule en x. Et donc f est croissante sur ]0;x] puis décroissante sur [x,+[. On retrouve ceci dans l'étude ci-dessous faite pour = -1.

D'accord, donc il fallait bien dériver f'. Je vais continuer ce que J'avais commencé et essayer tout ça, merci beaucoup!

Je trouve cette dérivée seconde :
f''(x)=2((1+x²)^-1/2-x²(1+x²)^-3/2) - (x²+1-2x)/((x²+1)²).

Du coups, f'' est négative comme vous l'avez dit, et à partir d'un tableau de variation avec f'' et f', Je trouve qu'effectivement, f' est décroissante de pi/2 à 2, et comme <0, on a 2<0, donc f'' s'annule en x. Donc f' est positive sur )0, x(, et négative sur )x; +(.

Je vais appliquer le meme raisonnement pour la question d'après. Merci !

Bravo

Enfin, pas exactement, Je me suis trompée dans la fin de la dérivée, c'est -2/(x2+1)². Mais ça ne change rien.

On me demande maintenant de montrer que l'ensemble des points M(x, f(x)) sont inclus dans la courbe d'équation :

y = 1 - 1/x arctan(1/x)
Je ne vois pas comment aborder cette question.. Je pensais peut etre partir de f'(x)=0.

Sinon, J'ai réussi à montrer que cette courbe coupait le demi-axe des abscisses positives en un seul point d'abscisse . J'ai fait la dérivée etc, puis appliqué le théorème de la bijection.

Mais on me pose la fonction :
Pour x>0, H(x)= (-xarctan(1/x))/2(1+x²), Et on me demande de justifier que H(+*)= ) -/(2(1+²)) ; 0 (.
Puis de montrer que C coupe (Ox) si et seulement si appartient à l'intervalle de H(+*).

Je dois avouer que Je suis un peu perdue..

Merci de m'aider

S'il vous plait ..

J'arrive, j'arrive ... je ne suis juste pas greffé en permanence à mon mail
La courbe a-t-elle pour équation y = ?

J'ai réussi en étudiant la dérivée et les limites à montrer que l'image de R+* était ce qui était demandé
Mais Je n'ai pas réussi à faire la question concernant les points Mcompris dans la courbe d'équation y = 1- ()

On peut effectivement partir de f'(x) = 0:
f'(x) = = 0.
On en déduit: .
Dans , on remplace par et après simplification, on aboutit à .
Et voilà

Après avoir calculé dans f' Je n'avais pas pensé à rebasculer dans f. Merci homeya
Comment fais-tu pour écrire les fractions ?

J'utilise la fonction tex() de Maxima ... qui fait aussi les dérivées, les primitives, etc. Je sais, je triche un peu

En parlant de dérivée, Je n'ai pas la meme en fait pour f' de x. J'ai l'inverse de la deuxième fraction en fait ..

Oui, tu as raison: je me suis trompé en modifiant le latex. Le second terme est bien .