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Etude d une fonction type Arctan(u(x))
On se propose d'étudier la fonction f telle que :
f(x) = Arctan (2*(1-x)/(1+4x))
1) Etablir que Arctan(1/2) = 
/2 - Arctan(2)
2) Determiner l'ensemble de définition D de f.
3) a) Exprimer la dérivée de f là où elle existe
b) Limites de f en +
et -
4) Soit 
la fonction définie par 
x 
, (x) = Arctan (2x).
a) Ecrire la dérivée de .
b) en déduire que x D, f(x) = - (x) + K(x).
Où K est une fonction simple que l'on précisera.
1- arctan(1/2)+arctan(2)=/2
u =arctan(1/2) et v= arctan(2)
on developpe tg(u+v) et on obtient compte tenu du signe de 1/2 et 2 , u+v = /2.
2- l'ensemble de definition est -,-1/4;-1/4,+
3- a- f'(x)=-2/(1+4x^2)
la fonction est toujours decroissante.
b-limites +-
on pose x=1/u en faisant tendre u vers 0 + ou -
f(x) tend vers arctan(-1/2) avec + ou- 
suivant le signe.
4- (x) = arctan(2x)
-a- '(x)= 2/(1+4x^2)
dons en integrant on trouve : f = -+k
et si on fait x= 0
on rouve f = - +arctan(2)
si ca a pu vous aider
bonsoir
Avant tout merci pour votre réponse, mais ...
*se sent complètement idiot mais bon*
J'ai un problème dès le début puisque je ne comprends pas trop : on developpe tg(u+v) et on obtient compte tenu du signe de 1/2 et 2 , u+v = /2...
Pourriez vous m'expliquer svp?
Bonjour Janus,
j'avoue n'avoir pas trop saisi non plus son raisonnement.
pour la première :
soit h la fonction x-->arctan(x)+arctan(1/x) est définie et continue dérivable sur R*
Calcule h' sur R+* tu va trouver 0 donc h est constante sur R+* or en faisant tendre x vers 0+ on trouve h(x)= ...
Salut 
Merci dad 97 
Seuleuement, nouveau problème, je comprends ton raisonnement et je l'approuve, mais on me demande bien d'"établir".
En fait comme tu le dis, on retrouve la forme arctan(x)+arctan(1/x)= /2
Mais je pense que ce qu'on me demande c'est de redemontrer cette propriété, or est ce vraiment avec les limites qu'on le fait?
trop con pourquoi utilisé la limite en 0+ alors qu'en 1 où la fonction h est parfaitement défini c'est fini 
.
Mdr mais je l'avais pas pris pour moi 
*je l'entends tous les jours pour moi je suis immunisé! lol*
Mais en effet c'était tout con -__-
Merci ^^
bonjour
j'ai un exercice du meme type et je ne trouve pas pour h une dérivée nul, car en dérivant arctan(x) j'ai des cosinus au carré....
Bonjour
J'avais justement la question de simplifier l'expression :
arctan(x)+arctan(1/x) = h(x)
dad97 a donné la bonne méthode, je fais le détail pour la dérivée :
(arctan(x))' = 1 / (1 + x²)
(arctan(1/x))' = arctan'(1/x) * (1/x)'
= 1 / (1 + (1/x)²) * (-1/x²)
= - 1 / (1 + x²)
=> h'(x) = 1 / (1 + x²) - 1 / (1 + x²) = 0
=> h(x) cste
On détermine h(x) avec une valeur simple comme 1 :
h(x) = arctan(1) + arctan(1/1)
= 2 * /4
= /2
Attention!
h est constante par morceaux sur chaque composante connexe de son ensemble de définition. Comme h n'est pas définie en 0 on ne peut pas conclure qu'elle est constante sur .
h est impaire et vaut /2 sur *+ et -/2 sur *-
Rebonjour,
c'est d'ailleurs pour ça que dans mon post je mettais placé sur R+*
posté le 13/10/2004 à 22:37
Calcule h' sur R+* tu va trouver 0 donc h est constante sur R+* or en faisant tendre x vers 0+ on trouve h(x)=
(même si l'idée de la limite en O+ avait été abandonnée ensuite )
Salut
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