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Etude d'une série alternée

Posté par
H-Espace 09-01-08 à 13:27

Voila bonjour, j'ai un petit probleme sur un DM type e3a sur les séries. Le bute est d'étudier la série de  terme général:
R_n=\sum_{p=n+1}^\infty (-1)^p \frac{1}{p}, pour n \in \mathbb{N}

On me demande d'énoncer le theoreme d'évaluation du reste au préalable apres on me demande:
A l'aide d'une suite géométrique montrer que
\forall n \in \mathbb{N}, R_n=(-1)^{n+1} \int_0^{1} \frac{x^n}{1+x} dx

J'ai beau chercher le théoreme pour commencer je vois pas quoi commencer

Non décu de ne pas avoir trouvé le résultat j'essaye ma suivante

Par intégration par parties, montrer qu'il existe un entier \beta \in \mathbb{N} * et un réel k différent de 0 tel que

R_n =k \frac{(-1)^{n+1}}{n^\beta} + O( \frac{1}{n^{\beta + 1}})

Moi et les grands O ca a toujours fait deux, malheuresement, merci de votre aide...

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Etude d'une série alternée 09-01-08 à 13:35

règle de Leibniz :  

Posté par
H-Espacere : Etude d'une série alternée 09-01-08 à 13:53

Merci ca m'aide deja un peu plus avec l'histoire du signe... L'idée que j'ai eu  consiste a introduire la fonction f(x)=1/x et de faire l'encadrement du terme général par -1/n et 1/n puis d'introduire par cette facon l'intégrale mais ca me donne rien...

Par l'encadrement de la valeur absolue de Rn par le terme valeur absolue de \frac{(-1)^{n+1}}{n} ca ne me donne pas grand chose en plus (sauf que les deux tendent vers 0... Mais pour la deuxieme question de toute facon c'est normal...

Posté par
H-Espacere : Etude d'une série alternée 09-01-08 à 15:02

Bon je suis pas sur de moi... Pour la deuxieme question

J'ai fait
(-1)^{n+1} R_n = [\frac{x^{n+1}}{1+x} \frac{1}{n+1}]_{0}^{1} + \int_0^{1} \frac{x^n}{(n+1)(x+1)^2} dx

Je trouve donc k=1/2 et \beta = 2

Par contre je n'ai tjs aucune idée pour montrer l'égalité...

Posté par
H-Espacere : Etude d'une série alternée 09-01-08 à 18:59

Un autre jour pourra peut etre m'apporter une solution (j'espere...) (Mince le sujet comporte 6 parties...)


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