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Etude d'une suite
Rebonsoir à tous,
J'ai encore une problème sur les suites.
On me demande d'étudier une suite U(n+1)=1+ln(Un) et tel que Uo >= 1
Tout d'abord on cherche le domaine de définition (arretez moi si je me trompe)
On a [1,+inf[ -> [1,+inf[
Ensuite on cherche le(s) sens de variation en fonction de U(n+1)-Un
C'est ici que je bloque.
On trouve U(n+1)-Un = 1 + ln(Un) - Un
On pose g(x) = 1 +ln(x) - x et on étudie cette fonction. On trouve que g est décroissante quelque soit x appartenant à [1,+inf[. Jusqu'ici tout va bien.
Mais on dit ensuite que Un est décroissante (ça ok) et minorée par 1. POURQUOI ?
En effet, si g(1)=0 et g décroissante, comment on peut avoir Un minorée par 1 ?????
Merci de me répondre.
Bonsoir Mirah
Il me semble que lorsque une suite est définie par une relation de récurence du type U(n+1)=f(U(n)) avec f une fonction décroissante, on a comme résultat que les suites extraites de rangs pairs et de rangs impairs sont monotones et de variations opposées.
Si U(2)>U(0) alors la sous-suite U(2n) est croissante et la sous-suite U(2n+1) est décroissante.
Si U(2)<U(0) alors la sous-suite U(2n) est décroissante et la sous-suite U(2n+1) est croissante.
Pour la minoration par 1, une démo par récurrence semble fonctionner.
sauf erreurs bien sûr.
Bonsoir.
1) Effectivement, on montre par exemple par récurrence que :
u0 
1 => pour tout n, un 1.
2) Je suis d'accord, la suite (un) est décroissante.
En utilisant 1) : pour tout n, un 1 signifie bien que la suite est minorée par 1.
A plus RR.
bonsoir
un+1-un=ln un-ln un-1=ln(un/un-1)
donc:si un>un-1=>ln(un/un-1)>0=>un+1>un ....
donc la suite est monotone le sens de variation dépend du signe de u1-u0
remarque:si uo=1 ln uo=0 donc u0=u1=...=un la suite est constante
On peut montrer que pour tout n un1:
c'est vrai pour u0par hypothèse
supposons un1=>lnun0=>un+11
effectivement Raymond,
la fonction f avec f(x)=1+ln x est croissante et en étudiant g où g(x)=1+ln x - x, on conclut sur la variation de (Un). J'ai confondu f et g dans le message précédent.
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