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étude d'une suite
Bonsoir ,
Soit f(x)=2x(1-x) et la suite définie par 
[0,1] et =f(
) , n
1
Soit les affirmations suivantes :
1) 
n
,()
[0,1] .
2)()
[0,1], () est monotone
3) Si () converge vers L alors L
[0,1]
4) Si () converge vers L alors L=0
5) Si () converge vers L alors L=1/2
6) Si ()
]0,1[, alors ()
ne converge pas vers 0
j'ai répondu par :
1)faux
2)vrai
3)faux
4)vrai
5)faux
6)vrai
Salut Gauss-Tn,
aucune de tes réponses n'est correcte à part la 5) et la 6), où tu as bien répondu! 
1)L'image de [0;1] par f est [0;0,5] donc 1) est vrai par récurrence.
2)Pour x=3/4 par exemple, (Un) n'est pas monotone donc 2) est faux.
3)C'est vrai d'après 1) et le théorème des gendarmes
4)Faux, si U0=1/2 alors Un=1/2 pour tout n
5)Faux, prendre U0=0 par exemple
6)Vrai, ]0;1/2[ a pour image lui-même, et sur cet intervalle on a f(x)-x 0, donc si U0 est dans cet intervalle, Un y est pour tout n, U1 > U0, f est croissante donc (Un) est croissante et puisque U0 > 0, (Un) ne peut pas tendre vers 0.
De même, ]1/2;1[ a pour image ]0;1/2[ donc si U0 est dans ]1/2;1[, U1 est dans ]0;1/2[ et on est ramené au cas précédent.
Enfin, si U0=1/2, on a vu que (Un) convergeait vers 1/2.
Cela prouve donc bien que si U0 n'est ni égal à 0, ni égal à 1, (Un) ne converge pas vers 0.
pour ce genre de suite, définie par récurrence à l'aide d'une fonction que l'on sait facilement dessiner, un petit dessin permet de répondre à toutes les questions, si l'on sait s'en servir.
il suffit de dessiner le graphe de la fonction et celui de la droite y=x.
on peut alors dessiner selon les valeurs de u0 des escaliers, des escargots ou d'autre chose (comme ici pour .
Quand on sait lire sur le dessin le comportement de la suite cela facilite ensuite les démonstrations.
Un logiciel gratuit d'exercices en ligne fait par des enseignants de l'IREM de Rennes offrent plusieurs exercices expliquant tout ceci, avec des aides graphiques, des indications, des solutions et des idées à retenir.
chercher par mots clefs dans le chapitre suite
le thème .
Si on voit sur le dessin et sur le tableau de variation que
, intervalle stable par f.
on commence la récurrence à partir de car c'est à partir de là que la suite devient monotone croissante ( ou stationnaire pour
). Sur le dessin cela donne un escalier montant.
car f(x)>x sur cet intervalle.
La récurrence est alors immédiate en utilisant f croissante sur cet intervalle.
Pour ou
la suite est stationnaire, nulle, à partir de
.
Pour les autres valeurs de on voit sur le dessin que la suite, négative à partir du rang 1, diverge. Elle décroit, s'éloignant du seul candidat limite de l'intervalle
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