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étude d une suite

Posté par Salim (invité) 03-06-05 à 15:46

J'aimerais que vous m'aidiez à étudier la suite suivante :
u[sub][/sub]n=de k=1 à n    1/((n²+k)). Merci d'avance.

Posté par
H_aldnoerre : étude d une suite 03-06-05 à 16:43

slt,

3$\rm\begin{tabular}U_n&=&\Bigsum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}\\&=&\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\end{tabular}

et

3$\rm\begin{tabular}U_{n+1}&=&\Bigsum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}\\&=&\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+(n+1)}}\end{tabular}

donc

3$\rm\begin{tabular}U_{n+1}-U_n&=&\Bigsum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}-\Bigsum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}\\&=&\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+(n+1)}}-(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}})\\&=&\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+(n+1)}}-\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}-\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}-\frac{1}{\sqrt{n^2+3}}-...-\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\\&=&\frac{1}{\sqrt{n^2+(n+1)}}\end{tabular}

3$\rm\frac{1}{\sqrt{n^2+(n+1)}}>0

donc la suite est croissante

a confirmer.
+

Posté par
soucoure : étude d une suite 03-06-05 à 18:28

Bonjour,

S'agissant d'une suite harmonique, ne faudrait-il pas plutôt comparer la différence entre les inverses de termes consécutif de la suite \frac{1}{u_{n+1}}-\frac{1}{u_n} à 0 ?

Ce n'est peut-être pas une bonne idée car les calculs deviennent vite hyper long.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:étude d une suite 31-07-05 à 05:17

Bonjour tout le monde;
comme l'a bien vu H_aldnoer,la suite (u_n)_{n\ge0} est croissante et est en plus majorée puisque: u_n=\Bigsum_{k=1}^{k=n}\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}\le\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}\le1
elle est donc convergente vers un réel\le1
Tiens un bon exercice serait de montrer que:
\lim_{n\to+\infty}u_n=1

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:étude d une suite 31-07-05 à 05:44

Attention H_aldnoer,je viens de m'apercevoir qu'il y a une erreur dans ta preuve car:
u_{n+1}=\Bigsum_{k=1}^{k=n+1}\frac{1}{\sqrt{(n+1)^2+k} (et non pas \Bigsum_{k=1}^{k=n+1}\frac{1}{\sqrt{n^2+k}) ce qui met en doute la croissance de u_n)
mais je crois qu'on a toujours \lim u_n=1

Posté par Yalcin (invité)re : étude d une suite 31-07-05 à 11:58

Bonjour

On a 1 \leq k \leq n

Donc n^2+1 \leq n^2+k \leq n^2+n

Donc \frac{1}{{\sqrt {n^2+1} }} \geq \frac{1}{{\sqrt {n^2+k} }} \geq \frac{1}{{\sqrt {n^2+n} }}

Donc \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{\sqrt {n^2+1} }}} \geq \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{\sqrt {n^2+k} }}} \geq \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{\sqrt {n^2+n} }}}

Donc \frac{n}{{\sqrt {n^2+1} }} \geq U_n \geq \frac{n}{{\sqrt {n^2+n} }}

Donc \frac{1}{{\sqrt{1+\frac{1}{{n^2}}}}}\geq U_n\geq\frac{1}{{\sqrt{1 +\frac{1}{n}}}}

En utilisant le théorème des gendarmes on obtient {\lim }\limits_{n \to + \infty } U_n=1

Voilà, cordialement Yalcin








Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:étude d une suite 31-07-05 à 18:12

Bien vu Yalcin
(U_n)_n est-elle monotone?

Posté par Yalcin (invité)re : étude d une suite 31-07-05 à 18:44

elle est croissante , avec l'inégalité qu'on a obtenue pour déterminer la limite de U_n , on peut montrer que (U_(n+1))/(U_n) > 1 , non ?

Posté par Yalcin (invité)re : étude d une suite 31-07-05 à 18:51

je crois que c'est un peu faux ce que j'ai dit, mais j'ai trouvée avec cette méthode (qui me paraît plus correcte)

Soit f(n)=n/(sqrt(n^2+1)) , alors on démontre que f est croissante

Soit g(n)=n/(sqrt(n^2+n)) , alors on démontre que g est croissante

(pour la croissance , on peut utiliser les dérivées ou inégalités normales qui est plus facile(méthode de seconde))

Donc on a f(n+1)-f(n)>0 et g(n+1)-g(n) , donc on en déduit qu'on peut faire une soustraction tranquillement , donc on a finalement u_(n+1)-u_n>0
Donc u_n est croissante.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : étude d une suite 31-07-05 à 19:52

Yalcin,ce n'est pas parce qu'une fonction est comprise entre 2 fonctions croissantes qu'elle est elle-mm croissante.

Posté par N_comme_Nul (invité)re : étude d une suite 31-07-05 à 21:39

Salut !

Pour tout x\geq0,
    x\leq x\sin x+2x\leq3x
et pourtant la fonction xx\sin x+2x n'est pas croissante sur [0;+\infty[.

Posté par N_comme_Nul (invité)re : étude d une suite 31-07-05 à 21:55

Un exemple : en appelant W la fonction définie sur [0;+\infty[ par :
    xx\sin x+2x,
on a :
    \pi<\frac{7\pi}{6}
et pourtant
    2\pi=W(\pi)>W\left(\frac{7\pi}{6}\right)=\frac{7\pi}{4}
    

Posté par Yalcin (invité)re : étude d une suite 31-07-05 à 23:06

Bonjour

On peut pas faire une division ?

je veux dire , comme j'ai démontré que U_n >= n/(sqrt(n²+n))

on pose f(n)=n/(sqrt(n²+n))

donc on a (u_n)/(u_(n+1))>=(f(n))/(f(n+1))

Or (f(n))/(f(n+1))<=1 (c'ets facile à démontrer pour totu n >=2)

Donc U_n <= U_(n+1)

voilà, c'ets fini non ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : étude d une suite 01-08-05 à 01:01

Non Yalcin ce n'est pas fini:
u_n\ge f(n)=\frac{n}{\sqrt{n^2+n} (Vrai)
u_{n+1}\ge f(n+1) (Vrai)
\frac{u_{n+1}}{u_n}\ge\frac{f(n+1)}{f(n)} (Faux) pour mieux t'expliquer ton erreur:
3\ge 2 (Vrai)
2\ge 1 (Vrai)
\frac{3}{2}\ge\frac{2}{1} (Faux)

Posté par tutu (invité)re : étude d une suite 01-08-05 à 10:37

Salut,


Pour lim u_n = 1 ne suffit-il pas de remarquer simplement que

(1-x) \le \frac {1}{\sqrt{1+x}} \le 1 ?


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