Bonjour,
Etudier la nature des suites pour lesquelles
pour tout
.
J'ai essayé de calculer les premiers termes mais je ne trouve pas de conjecture pour l'expression de .
est un paramètre.
On a :
Généralement, on étudie la croissance/décroissance, et on regarde si la suite est majorée/minorée.
Mais ici cela dépend de
.
De plus, on ne connaît pas .
ben oui !!
il se peut que la nature de la suite dépende (ou non) de son premier terme ... et tout le travail est de le déterminer ...
ensuite les modalités d'action pour déterminer la nature de la suite à nouveau ben oui tu as divers outils suffisants et/ou nécessaire qui te permettent de conclure !!!
dans le cas présent je suis persuadé qu'un changement de variable adéquat donne les réponses ... mais pour l'instant je ne le vois pas
Bonjour,
J'ai tenté aussi une suite auxiliaire sans succès.
On peut quand même voir qu'il n'y a pas 36 possibilités pour une limite éventuelle.
Bonsoir,
tu as eu une bonne idée :
Il me semble que si alors
.
Au rang c'est évident.
Supposons que la propriété soit vraie au rang .
On a
Je voulais dire :
et la suite
ne dépend pas de
La nature de la suite (convergente ou pas, bornée ou non) ne dépend pas de
Bonsoir,
C'est peut-être faux (je ne l'ai pas écrit) mais je crois qu'on pourrait encadrer Un (récurrence pour prouver) :
U1/n2 Un
1/n+U1/n2
Bon courage
Bonsoir,
Pas le temps de vérifier ce soir, mais il me semble que la suite (an) de verdurin vérifie 0
an
1/n
à partir d'un certain rang.
Jandri.
Je n'ai pas réussi à le démontrer par récurrence.
La propriété est évidemment vraie au rang .
Supposons qu'elle soit vraie au rang fixé.
Alors :
Ici je ne sais plus quoi faire, il n'y a pas de au dénominateur.
Verdurin.
Par récurrence, je montre facilement que ne dépend pas de
et que
.
Mais j'ai du mal à montrer que converge vers
.
Jandri merci ! Ce sont des idées de génie.
J'ai réussi à montrer facilement en étudiant le signe de
.
Pour la méthode de l'équivalent, je cherche et j'essaie de le démontrer.
J'ai réussi à démontrer par récurrence sans difficulté que :
J'ai fait plein de calculs mais je ne parviens pas à comprendre comment vous trouvez ce : .
Je n'ai pas compris non plus comment en déduire l'équivalent
Prenons u1 positif ou nul. n>=2
un+1<un
équivalent à
Or on a d'après l'énoncé que donc (un)est décroissante à partir de n=2, clairement positive donc elle converge. Sa limite est triviale.
Jarod128 merci mais je n'ai pas compris d'où sort le : .
Et pour ?
pour
.
Si converge vers
alors
en passant à la limite dans l'égalité de récurrence.
Ok merci et si on fait comment ?
Il me semble que la preuve de Jandri est valable pour n'importe quel .
Jandri ok merci c'est compris pour l'équivalent.
Je me suis mal expliqué, j'aimerais savoir comment vous faites pour trouver :
J'ai réussi à la démontrer par récurrence, mais comment vous faites pour le trouver tout seul ? Par quelle méthode on le trouve ?
Sylvieg
Ok merci j'essaie de démontrer ces 2 résultats.
Sylvieg ce n'est pas si simple à démontrer, il faut étudier un polynôme de degré 3.
Comment tu as fait pour trouver que ?
Montrons que par récurrence.
Au rang , on a
Supposons vraie.
On a
De plus
Or :
On pose et une étude rapide de fonction montre que
Bien vu !
Pour c'est assez évident.
Comment avez-vous eu l'idée du ?
J'aimerais bien retenir quelque chose de cet exercice.
J'ai au préalable calculé les premiers termes de la suite (an).
J'ai commencé par chercher à démontrer an
1/n .
J'y suis arrivée mais il fallait aller jusque u5.
Alors que an
1/(n-2)
est vrai plus tôt.
Sylvieg
D'accord merci.
Jandri
Merci beaucoup
On a
Donc :
Posons : .
Alors :
Puis :
Donc :
On voit la formule apparaître
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