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étude de 2 suites

Posté par
maumau76 10-11-07 à 14:50

bonjour

j'ai deux suites définie sur \mathbb{N}^*  v_n = \frac{1}{n} \sqrt[n]{n!}  et  w_n = \frac{n^n}{n!}

j'ai la relation ln(w_n) = -\frac{1}{n}ln(v_n)

j'ai \frac{w_{n+1}}{w_n} = (1 + \frac{1}{n})^n et pour n \ge 6 j'ai w_n \ge 2^n

et maintenant il faut que je trouve s'il existe un majorant de (v_n)_{n \ge 6}

j'ai réussi a avoir v_n \ge 2^{-n^2} mais ce n'est pas un majorant vu que ce n'est pas constant

merci d'avance pour votre aide

Posté par
donaldosre : étude de 2 suites 10-11-07 à 15:35

Il me semble que la bonne relation c'est :

\ln w_n=-n\ln v_n

et:

\begin{align} \\ \ln w_n \geq 2^n &\Leftrightarrow& \ln w_n \geq n \ln 2 \\& & \\ &\Leftrightarrow& -n\ln v_n \geq n \ln 2\\ &\Leftrightarrow&\ln v_n \leq \ln 2 \\ \end{align}

Posté par
veledare : étude de 2 suites 10-11-07 à 15:38

bonjour,
pour n>1 n!<nn donc vn<n/n  vn<1 sauf erreur de ma part

on peut aussi remarquer que (vn)n=1/wn1/2n
donc vn1/2 en utilisant la minoration de wnpour n6  (sauf étourderie)

Posté par
veledare : étude de 2 suites 10-11-07 à 15:43

je n'ai pas vérifié la minoration de wnque tu donnes,si elle est fausse ma seconde methode aussi

Posté par
maumau76re : étude de 2 suites 10-11-07 à 16:11

merci donaldos pour la correction c'est sur que ça marche mieux s'il n'y a plus d'erreurs

Posté par
veledare : étude de 2 suites 10-11-07 à 16:20

>>donaldos
ta dernière inégalité est inexacte
c'est  lnvn-ln2
ce qui donne vn1/2

Posté par
maumau76re : étude de 2 suites 10-11-07 à 16:22

j'avais corrigé de moi même mais merci de le signaler comme ça je suis sure que c'était bien ça

Posté par
veledare : étude de 2 suites 10-11-07 à 16:23

d'accord c'est bien ce que j'avais trouvé au dessus


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