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Etude de fonction
Bonjour,
Voilà, j'ai une longue étude de fonction à faire et j'ai besoin d'un peu d'aide s'il vous plaît.
L'énoncé:
Soit la fonction f(x)=ln[valeur absolue(1+x/1-x)]-2x
1- Justifier que D, l'ensemble de définition de f est la réunion de trois intervalles:
2- Montrer que f est impaire
3- Justifier que f est de classe C
sur tout intervalle I inclu dans D
4- Démontrer que pour tout x dans I, f'(x)=2x²/(1-x²)
5- En déduire le tableau de variation de f en précisant les limites de f aux bornes de D
6- a- Quel est le signe de f(x) sur D?
b- Calculer la dérivée seconde de f
c- En déduire que: pour tout x appartenant à [0,1/2], 0
f'(x)2/3
d- Etudier la convexité de f
7- Dessiner C, la courbe de f, la droite 
:y=x et les droites asymptotes à C dans un repère orthonormé (unité 2 cm)
On expliquera le pourquoi de leurs positions respectives
8- On définit la suite (un) par: u0=1/2 et un+1=f(un) pour tout n dans 
a- On donne ln 3 < 1,1
Montrer que si 0x1/2, alors 0f(x)1/2 puis que: pour tout n dans , un dans [0,1/2]
b- En utilisant l'inégalités des accroissements finis, montrer que: 
n
, un+12/3 un
puis que: n, un(1/2)*(2/3)^n
c- En déduire la limite de la suite (un) quand n tend vers l'infini
9- Déterminer le nombre de solutions de:
a- L'équation f(x)=0
b- L'équation f(x)=x
Mes premières réponses:
1- (1+x)/(1-x) existe pour 1-x différent de 0 et donc x différent de 1
valeur absolue de (1+x)/(1-x) existe pour tout x différent de 1
ln[valeur absolue (1+x/1-x)] existe pour x différent de 1 et (1+x)/(1-x) différent de 0 donc x différent de -1.
-2x existe pour tout x dans 
Donc D= ]-,-1[U]-1,1[U]1,+[
2- Pour prouver que f est une fonction impaire il faut prouver que f(-x)=-f(x):
f(-x)=ln[abs(1-x/1+x)]+2x
-f(x)=-ln[abs(1+x/1-x)]+2x=ln[abs(1-x/1+x)]+2x=f(-x)
3- Pour justifier que f est de classe C sur tout intervalle I inclu dans D:
la fonction -2x est de classe C sur R
la fonction ln(x) est de classe C sur ]O,+[
la fonction 1+x/1-x est de classe C sur R-{1} à valeurs dans R
la fonction valeur absolue est de classe C sur R donc,
la fonction abs[1+x/1-x] est de classe C sur R-{1}
la fonction abs[1+x/1-x] est de classe C sur R-{1} à valeurs dans [0,+[
la fonction ln(x) est de classe C sur ]O,+[ et donc (ca ne marche pas car f(R-{1})n'est pas inclu dans ]O,+[)
4- Pour calculer la dérivée d'une valeur absolue, il faut tenir compte des cas 1+x/1-x<0 et 1+x/1-x>0 ?
Mon énoncé vous fait peur? Je comprends, à moi aussi il fait peur 
à propos du 2 j'ai revu ma réponse et en fait j'ai rajouter quelques étapes intermédiaires pour le calcul de -f(x), en revanche je suis toujours bloquée sur la question 3) quelqu'un peut m'apporter son aide s'il vous plait?
4)
f(x) = ln|(1+x)/(1-x)| - 2x
Si (1+x)/(1-x) > 0, alors:
f(x) = ln((1+x)/(1-x)) - 2x
f '(x) = [(1-x)/(1+x)] * (1-x+1+x)/(1-x)² - 2
f '(x) = [(1-x)/(1+x)] * 2/(1-x)² - 2 (1)
f '(x) = [2/((1+x)(1-x))] - 2
f '(x) = [2/(1-x²)] - 2
f '(x) = (2 - 2 + 2x²)/(1-x²)
f '(x) = 2x²/(1-x²)
---
Si (1+x)/(1-x) < 0, alors:
f(x) = ln(-(1+x)/(1-x)) - 2x
f '(x) = -[(1-x)/(1+x)] * (-1+x-1-x)/(1-x)² - 2
f '(x) = -[(1-x)/(1+x)] * (-2)/(1-x)² - 2
f '(x) = [(1-x)/(1+x)] * 2/(1-x)² - 2
et on a la même expression qu'à la ligne repérée (1) ci dessus.
-->
f '(x) = 2x²/(1-x²)
---
On a donc :
f '(x) = 2x²/(1-x²) pour tout x de I.
-----
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