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étude de fonction
Bonsoir à tous !
Je bloque sur la 3eme question de cet exo:
énoncé:
Toutes les fonctions sont définies sur I=]0,+
[.
1) Montrer que 
x > 0 , ln(1+x)-ln(x)-1/x < 0 < ln(1+x)-ln(x)-1/(1+x).
-ok-
2) En déduire que : [(1+x)/x]x < e < [(1+x)/x]x+1
-ok-
3) Montrer que x
[(1+x)/x]x est croissante sur I et que x[(1+x)/x]x+1 est décroissance sur I
A l'aide !!
Pouvez vous m'aider svp
Merci
Bonsoir st1flr3,
il suffit de transformer tes écritures ab en et de dériver, l'étude du signe des deux dérivées ramène à la question 1.
Bonjour
A la question 1) applique le théorème des accroissements finis à la fonction ln(t) sur [x,x+1].
voila c'est bon 'ai réussi la question 3
mais j'ai néanmois une question ...
la fonction x[(1+x)/x]x est strictement croissante ... c'est démontrer mais pourquoi
f(1)=2
alors que
lim f(x)= 1
x+
???
Pourtant ma calculatrice me montre que cette courbe tend vers 1 !
je suis ok pour que lim ex.ln(T) tend vers e.
mais pourtant lim ((x+1)/x)x tend vers 1 non ?
Bonjour st1fl3r
Tigweg ne doit pas être encore levé donc en attendant qu'il te réponde je te propose ceci:ln((x+1)/x)^x =ln(1+1/x)^x et maintenant on pose X=1+1/x
donc x= 1/(X-1) et on étudie la limite au point 1 de lnX/X-1
qui donne 1 et en reprenant l'exponentielle on trouve bien e^1= e
je vous suis jusqu'à lorsque vous étudiez "la limite au point 1 de lnX/X-1"
je ne vois pas d'où cela vient ... ?
Bonsoir st1fl3r
je ne vois pas d'où cela vient ... ?
Comme on a fait un changement de variable dire que x--> +oo est la même chose que X-->1 sachant que X = 1+1/x non?
pas de soucis pour le changement de variable ... mais c'est l'expression "lnX/X-1" que je ne comprend pas ...
ça ne dois pas etre difficil mais ... je ne vois pas
Bonjour st1fj3r
Désolé mais je ne vois pas où tu bloques donc je refait tout.
f(x) --> F.I en +oo
donc calculons la limite l de ln(f(x)) puis en prenant el on aura la solution.
ln((x+1)/x)x = xln(1+1/x) (1)
Posons X = 1+1/x (2) et donc 1/(X-1) = x (3)
Remplaçons (2) et (3) dans (1) on obtient
1/(X-1).lnX = ln(X)/(X-1) qui tend vers 1 si X-->1
Je n'avais pas voulu surcharger de parenthèses pensant que c'était évident, peut être que cela t'a gêné.
Si ça ne va pas n'hésite pas à reposter.
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