bonjour
on doit dire ce que devient l'égalité P₂ pour les 3 cas 1,2,3.
pour le cas N°3 j'arrive à f(x)²=f(0)².
Je ne voit pas comment continuer.
merci

f(x+y)*f(x-y) = (f(x)*f(y))²

y = 0 ->
f(x)*f(x) = (f(x))²*(f(0))²
(f(x))².(1-(f(0)²) = 0

Si f(x) est différent de 0 pour un x quelconque, on a (1-(f(0)²) = 0 -> f(0) = -1 ou f(0) = 1.
On peut ausi avoir f(x) = 0 pour tout x et donc f(0) = 0
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f(x+y)*f(x-y) = (f(x)*f(y))²
x = 0 ->
f(y)*f(-y) = (f(0)*f(y))²

f(-y) = (f(0))²* f(y)
Comme ceci doit être vrai pour tout couple x,y, ceci doit être vrai pour y = 0 ->

f(0) = (f(0))³
f(0).(1-(f(0))²) = 0

Et donc soit f(0) = 0, soit f(0) = -1, soit f(0) = 1
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f(x+y)*f(x-y) = (f(x)*f(y))²
x = y ->
f(2x)*f(0) = (f(x)*f(x))²

Si f(0) = 0 -> (f(x)*f(x))² = 0 et donc f(x) = 0 quel que soit x, f est la fonction nulle.
Si f(0) = 1 -> f(2x) = (f(x)*f(y))² ce qui est possible puisque x = 0 donne f(0) = (f(0))^4 qui est compatible avec f(0) = 1.
Si f(0) = -1 -> -f(2x) = (f(x)*f(x))² ce qui est possible puisque x = 0 donne -f(0) = (f(0))^4 qui est compatible avec f(0) = -1.
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Donc les 3 valeurs possibles pout f(0) sont -1, 0 et 1
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A toi de voir si cela te convient.
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Sauf distraction.  

Merci JP
J'ai pu continuer la suite de mon exo