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Etude de fonction arctan avec parametre=> casse tete !!
Bonjour a tous, un petit dm de vacances qui se transforme en petite migraine selon les questions, si vous pouviez m'aider 
Soit (E) : xy' + y = 1/ (1+x²)
1) Resoudre E sur R*
2) Soit f(x)= (
+ Arctan(x))/x
a) Soit M0 d'abscisse non nulle. Montrez que par M0 il passe une seule et unique courbe intégrale
b) Determinez l'ensemble 
des points P(x0;y0) du plan avec x0
0 tels que la courbe intégrale passant par P ait, en P, une tangeante de pente nulle ( on utilisera E )
c) on considere un point M d'abscisse non nulle n'appartenant pas a . Determinez, selon sa position par rapport a et a [Oy)le signe de la pente de la tengeante en M a la courbe intégrale passant par ce point.
3) Montrez que f(=0) admet une limite finie l en 0,qu'on determinera. on pose desormais f(=0,0)=1. f(=0) ainsi prolongée est elle derivable en 0 ?
4)
0. calculez f'()
On pose g()(x) = x² f'()(x) . Dressez le tableau de variation de g() et en deduire, selon les valeurs de , le signe de f'()(x) en fonction de x
5)Tableau de variation pour les cas ou :
- = 0
- 0<
/2
- >/2
6) Soit 1 < 2 . Position de C2 par rapport a C1
Voilma, les questions que jai su faire sont 1,3 sof la derivabilité, et pour le reste jai mes calculs, mais les votres me semblent necessaires pour savoir si les miens sont bons.
En esperant que vous pourrez maider 
personne pour m'aider ? 
1) xy'+y=1/(1+x²)
solution generale : xy'+y=0
y'/y=-1/x
ln y = - ln x + K
y=k/x ou k est une constante
ensuite variation de la constante pour solution particuliere:
y=k(x)/x
y'(x)=(k'(x)x-k(x))/x²
on remplace
x ((k'(x)x-k(x))/x²)+k(x)/x=1/(1+x²)
k'(x)=1/(1+x²)
ce qui donne k(x)=arctan(x)+K
d'ou y(x)=k(x)/x= (artan(x)+K)/x solution de l'equation. K une constante.
Bonsoir;
On peut aussi remarquer que l'équation s'écrit
ses solutions sur
sont donc:
Sauf erreurs bien entendu 
la 1 je lai faite, mais joré besoin daide pour la deux, et la derivabilité sur la 3 svp
pourriez vous maider plus svp ?
Bonjour
Je suis en présence de la fonction suivante : f = ( + Arctan x)/x
Or dans le cas =0, f(x)= Arctan(x)/x
en 0, on peut prolonger par continuité f, avec f(0)=1
Et la, pour la derivabilité, je ne sais pas du tout, pourriez vous maider, je souhaiterai savoir si f(=0) est derivable en 0 et pourquoi.
MERKIIII
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Il faut trouver : .
Il serait judicieux à ce moment-là de faire un développement limité à l'ordre 3 de arctan(x).
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sachant que je n'ai aps vu les developpements limités encore en cours, serait il possible dire si f est dérivable, sans utiliser cet outil ?
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Salut Pimp,
Et les équivalents tu connais? Par exemple arctanx équivalent en 0 à x.
f est dérivable en 0 si la limite (lorsque x tend vers 0) de f(x)-f(0)/(x-0) existe.
Pac
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A toi de jouer avec ce que je viens de te dire
Pac
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je vais essayer avec la limite a gauche et la limite a droite de 0, on va bien voir
ce qui me gene un peu c'est le prolongement par continuité de f
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Bonjour Pimp,bonjour jacques1313;
On pourra (par étude de fonctions) montrer que et donc que
c'est à dire que
et en utilisant la parité de
on a par le changement de variable
que
notre fonction est donc bien dérivable en 0 et on a
Sauf erreurs bien entendu
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Dis-moi, pourquoi on peut prolonger par continuité en 0 en posant f(0)=1? Pourquoi ça te gêne? Qu'est-ce que ça veut dire prolonger par continuité une fonction?
Pac
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bon je viens de tester un truc, dites moi si c'est bon svp :
lim (f(x)-f(0))/(x-0) en 0 donne
(+ arctan x)
------------------ - 1
x
-------------------- = /x² - 1/x + arctan x/x²
x
= 1/x ( /x -1 + arctan x/x )
or lim arctan x/x =1 en 0, donc la limite en 0 de (f(x)-f(0))/x est equivalente a la limite de
/x² en 0.
Or en 0+ et en 0- la limite vaut +oo, donc comme la limite n'est aps un nombre fini, la dérivabilité en 0 n'est pas possible .
Suis-je correct ?
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bonjour elhor
je suis d'accord avec ton raisonnement, cependant je reconnais la le debut du DL de arctan x ( et oui, meme si je ne lai aps apprius en cours je le connais un tout petit peu )
cependant, je voudrai savoir d'ou tu affirme que pour tout x, 0x-arctan xx^3/3
si tu me prouve sa, je pourrai le mettre sur ma copie, sinon je ne pourrai pas ^^
merci
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Il te suffit de considérer les deux fonctions:
tu as
tu en déduis alors que
et
sont croissantes sur
et donc que
ce qui te donne l'encadrement voulu.
Sauf erreurs bien entendu
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BonjourElhor et Pimp
Suggestion;
Pour calculer cette limite à droite de 0 .on peut bien se passer de l'étude des fonctiohs et de D.L;en utilisant juste le théorème des accroissements finis appliqué à la fonction Arctan dans l'intervalle [0;x]
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si je voulais utiliser les DLs, est ce que ce que je vais vous proposer est bon ? :
arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 ( a l'ordre 7 )
arctan x/x = 1- x²/3 + x^4/5 -x^6/7
(arctan x/x )' = -2x/3 + 4x^3/5 - 6x^5/7
pour x=0, on a la dérivée qui vaut 0 => f est dérivable en 0 et f'(0) = 0
est-ce correct ?
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