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Niveau Master
Etude de fonction incluant fonction logarithme et valeur absolue
Posté par lowwo
Bonsoir à tous,
Je bloque depuis un petit moment sur mon dm de maths, alors je viens en aide auprès de quelqu'un 
Voici l'énoncé :
g est définie par g(x)= x/(x-1) - ln |x-1| pour x 
[0;1[U]1;+oo[
Etudier les variations de g
Merci d'avance
Bonjour
1re partie ; dérivée d'un quotient
à savoir : (ln|u|)' = u'/u
quand on sait ça, ensuite c'est simple
Bonjour à vous deux,
Tout d'abord merci de m'avoir répondu et c'est vrai je tenais à rectifier que j'avais mis master alors que je suis en classe prépa ça a été une erreur lorsque j'ai validé le topic
En ce qui concerne la dérivée de la fonction je l'ai calculé, elle vaut :
g'(x)=-x/(x-1)²
J'ai donc déduit le tableau de signe suivant :
sur [0;1[ g'(x) est négative et sur ]1;+oo[ aussi donc
g(x) est décroissante sur et sur [0;1[ et sur ]1;+oo[ g(x) est également décroissante
Toutefois, j'ai commencé à calculer mes limites mais j'ai le sentiment que le résultat est faux
quand x tend vers 0
x-1 tend vers 0-1 = -1
x tend vers 0
donc x/(x-1) tend vers 0
Or, si x-1 >0 alors |x-1| = x-1
et si x-1<0 alors |x-1|= -x+1
sauf que là je ne sais pas si je me place du point de vue de 0positif ou 0 négatif ...
tu ne peux pas te mettre du côté 0 négatif, ta fonction n'est pas définie !
quand x tend vers 0, la lim me parait évidente, non?
1re fraction : 0
le ln donne ln1 = 0
terminé
non ?
Oui c'est ce que j'ai écris sur ma feuille sauf que si o n'est pas définie du côté négatif on prend donc le côté positif donc si x-1>0 alors |x-1|=x-1
donc x/(x-1) tend vers 0
x-1 tend vers -1
donc ln u tend vers ln (-1) quand u tend vers x-1 et u tend vers -1 donc impossible !
mais x tend vers 0 n'a rien à voir avec
Citation :
si x-1>0 alors |x-1|=x-1
si x-1>0 alors |x-1|=x-1
puisque là tu es au delà de 1
je ne comprends pas ce que tu fais....
Je suis d'accord, mais il faut que je me réfère à quoi pour savoir si je prend : si x-1>0 alors |x-1|=x-1
ou si x-1<0 alors |x-1|=-x+1
sachant que la je calcule la limite quand x tend vers O donc logiquement je quand x>0 donc quand je calcule ln u u vaut -x+1 qui tend vers -1 donc je peux pas écrire ln (-1) non ?
Mon cours me dit que :
|x|=x si x>= 0
|x|=-x si x<= 0
dans notre cas, ln |-1|=ln -(-1) donc ln 1 donc 0
C'est ça ?
Je viens de faire la limite pour 1 négatif je trouve donc
pour la 1ère fraction : 0
et pour le calcul de la VA je trouve valeur absolue de 0 donc ln0 et la je bloque une fois de plus...
écrire "pour 1 négatif " n'a pas de sens
autour de 1, tu n'as pas de valeurs négatives!.....
tu dis 1 par valeurs inférieures, OK ?
pour le ln
x tend vers 1 donc tu obtiens le ln d'une quantité qui tend vers 0+
et ça tu as appris en terminale que la limite est -
quant à la 1re fraction, elle ne tend pas du tout vers 0...faudrait que tu rebuches un peu ce que tu as fait en terminale....
Le gros soucis c'est que je suis en prépa technologique ( STG ) et je n'ai jamais vu ça en terminale ...
C'est plein de nouvelles choses d'un coup d'où mes confusions et l'incompréhension
OK, je comprends
là je me déconnecte, mais demain matin je t'explique un peu tout ça dans un nouveau message
alors sur le site, tu as déjà des fiches concernant les limites niveau 1re, avec les opérations et les formes indéterminées que cela peut engendrer
c'est là : 
[lien]
ensuite : au niveau terminale, tu as une fiche sur les croissances comparées, qui va te servir à lever des formes indéterminées, c'est là (avec exemples) : Croissance comparée des fonctions exponentielles, puissances, logarithmes
je pense que cela peut déjà t'aider
alors, pour revenir à ta fonction
la lim en 0 est faite
la lim en + l'infini va être facile
à droite de 1, pas trop dure, ce n'est pas indéterminé
par contre à gauche de 1, sauf erreur, ce sera indéterminé, il faudra transformer l'expression pour arriver à "lever" l'indétermination
fais les dans cet ordre !
Bonjour Malou,
Merci d'avoir pris le temps de me donner pleins de conseils et de liens pour compléter mon cours
Toutefois, pour mon dm et le calcul des limites j'ai opéré avec un changement de variables
Posons X = x-1
du coup pour x tend vers 0 on avait trouvé 0
pour x tend vers 1 à valeurs négatives j'ai trouvé -oo
pour x tend vers 1 à valeurs positives j'ai trouvé +oo
je bloque juste pour la limite en +oo
On ne va pas se priver de la courbe....
tes limites me semblent cohérentes
en+ l'infini
le changement de variable n'est pas utile
la fraction tend vers 1 (quotient des termes de plus haut degré)
et le ln tend vers + l'infini
conclusion : g tend vers - l'infini
OK ?
Malheureusement nous n'avons plus le droit à la calculette donc c'est vrai que c'était évident de s'en servir pour vérifier la cohérence de nos résultats !
Toutefois pour le calcul de la limite en + l'infini je ne comprends pas comment on peut utilisait la propriété des fractions rationnelles puisqu'il ne s'agit pas d'un polynôme du second ou du troisième degré il s'agit d'un polynôme de degré 1 et dans notre cours ou dans les exercices ont a jamais utilisé la règle des fractions rationnelles pour des polynômes de degré 1...
et sinon quand x tend vers 1 on peut affirmer que xlnx tend vers 0 par croissance comparée ?
quand x tend vers 1
on n'a pas besoin de croissance comparée pour dire que xlnx tend vers 0, puisque le ln tend vers 0 et le x vers 1, donc le produit n'est pas indéterminé
quand tu as une fct rationnelle comme x/(x-1)
il suffit de mettre x en facteur en haut et x en facteur en bas et de simplifier les x, et ce n'est plus indéterminé lorsque x tend vers + pu - l'infini
et on retrouve bien que la lim de ce rapport vaut 1 en + l'infini
Après la question suivante c'est : Préciser le signe de g(x) pour x appartenant à [0;1[ et à vrai dire je ne vois pas tellement l'utilité de la question sachant que la fonction est strictement décroissante sur [0;1[ et que les limites vont de 0 à -oo donc pour moi il n'y a pas de changement de signe non ?
oui, c'est ça..;toujours négatif
mais peut-être que dans une question plus loin dans le devoir, tu auras besoin du signe de cette expression pour résoudre qq chose....
après, si c'est un sujet tronqué, tu ne le verras peut-être pas
Les questions qui précèdent sont : Montrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution alpha sur ]1;+oo[ et préciser le signe de g(x) sur ]1;+oo[
En prenant ln2=0,7 et ln3=1,1 montrer que 4<alpha<5
oui, cohérent avec le dessin (je pense que tu veux dire question qui suit)
tu vas utiliser le théorème de la bijection, ou des valeurs intermédiaires pour montrer l'existence et l'unicité
tu vas calculer g(4) et g(5)
et tu vas en déduire que la valeur cherchée est entre 4 et 5
essaie
Oui je voulais dire qui suivent c'était un labsus de ma part
Sinon pour le théorème de la bijection je sais faire c'est acquis, juste pour en revenir à la précision du signe de g(x) j'ai fais un tableau avec les variations de g(x) sur la première ligne et en dessous j'ai mis signe de g(x) est j'ai mis négatif...
Merci
Cependant serait-tu intéressé par la deuxième partie du DM, du moins par curiosité après si tu me réponds non je comprendrais parfaitement puisque tu as déjà passé beaucoup de moi avec moi et qu'il y a surement d'autre personne qui aurait besoin de ton aide
la 2e partie se sert-elle du début ? et cela dépend de quoi ça parle...je ne sais peut-être pas faire...de quoi ça parle...on a tous nos préférences...
f est définie par f(0)=-1 et f(x)=ln|x-1|/x pour x appartenant à ]0;1[U]1;+oo[
Montrer que f est continue en 0
Etudier les branches infinies de f
Calculer f'(x) pour x appartenant à ]0;1[U]1;+oo[ et en déduire les variations de f
OK on continue !....je vais m'absenter, mais je reviendrai voir ce soir, puis demain...
pour la continuité en 0
cherche la lim de f(x) quand x tend vers 0+
et le but est de trouver -1 si on veut qu'elle soit continue!....
Ce n'est pas grave si on continue pas, de toute façon je dois rendre mon dm demain mais on a déjà bien avancé je suis contente
On va dire que la deuxième partie est plus subtile 
voilà, d'après ça, tu dois pouvoir vérifier tes limites
et une asymptote en + l'infini d'équation y=0