Niveau seconde

Étude de fonctions

Posté par
Bladest 23-01-05 à 05:04

Salut,
Je n'arrive pas à comprendre comment vous résolvez l'exercice 2 présent dans les fiches de mathématiques pour seconde.
Pour vous éviter d'aller sur la page, je peux reprendre l'énoncé ici carrément !

Un maître nageur dispose d'une corde de 160m de longueur pour délimiter un rectangle de baignade surveillée.
À quelle distance doit-il placer les bouées A et B pour que le rectangle ait une aire maximale ?

Correction :
sur [0 ;40], f est croissante
puis sur [40 ;80] f est décroissante
donc x = 40m et y = 80m

Je n'ai pas compris comment vous avez fait et je suis sûr que dans un devoir de maths, je ne pourrais pas mettre une réponse rédigée ainsi.
Alors, s'il vous plaît, aidez-moi à comprendre.

Étude de fonctions

Posté par re : Étude de fonctions 23-01-05 à 07:26

Bonjour

Ce problème n'est pas facile en seconde: les méthodes adéquates sont au programme de première.
Reste qu'en seconde, on peut être très rigoureux et cela est formateur de comprendre les démarches.
En DS, il y aura surement des questions intermédiaires...

Modélisation
Soit x et y les côtés du rectangle.

La longueur de la corde est de 160 mètres: 2x + y = 160  et donc y = 160 - 2x

L'aire du rectangle: xy = x(160 - 2x) = 160 x - 2x²

On est amené à étudié la fonction f définie sur [0 ; 80] par f(x) = 160x - 2x²

Première méthode: étude direct du maximum
$f(x)=-2(x^2-80x)=-2(x^2-2\times x\times40)=-2(x^2-2\times x\times40+1600)+3200=-2(x-40)^2+3200$

Le carré de x-40 est toujours positif
$\(x-40)^2\ge0$
en multipliant chaque membre par -2 (négatif)
$-2\(x-40)^2\le0$
en ajoutant 3200 à chaque membre
$-2\(x-40)^2+3200\le3200$

Ainsi pour tout réel x de [0 ; 80],   $f(x)\le3200$
De plus  f(40) = 3200, le maximum de la fonction f est donc 3200 et il est atteint pour x = 40.

Seconde méthode: étude des variations
Soit a et b deux réels tels que:  a < b
$f(b)-f(a)=160b-2b^2-160a+2a^2=160(b-a)-2(b^2-a^2)$
$f(b)-f(a)=160(b-a)-2(b-a)(b+a)=(b-a)[160-2(b+a)]$

Premier cas: $0\le a<b \le40$
$0\le a \le40$
$0\le b \le40$
en additionnant membre à membre
$0\le a+b \le80$
en multipliant chaque membre par (-2) qui est négatif
$0\ge -2(a+b) \ge-160$
en ajoutant 160 aux deux membres
$160\ge 160-2(a+b) \ge0$
et donc $160-2(a+b)$ est positif

Comme a < b, b-a est positif d'après la règle des signes, $f(b)-f(a) \ge 0$
et donc $f(b) \ge f(a)$

Ainsi f conseve l'ordre sur [0 ; 40], donc f est croissante sur[0 ; 40]

Second cas: $40\le a<b \le80$
$40\le a \le80$
$40\le b \le80$
en additionnant membre à membre
$80\le a+b \le160$
en multipliant chaque membre par (-2) qui est négatif
$-160\ge -2(a+b) \ge-320$
en ajoutant 160 aux deux membres
$0\ge 160-2(a+b) \ge-160$
et donc $160-2(a+b)$ est négatif

Comme a < b, b-a est positif d'après la règle des signes, $f(b)-f(a) \le 0$
et donc $f(b) \le f(a)$

Ainsi f inverse l'ordre sur [40 ; 80], donc f est décroissante sur[40 ; 80]

Maximum
f est croissante sur [0 ; 40]
f est décroissante sur [40 ; 80]
le maximum est atteint pour x = 40

Retour à la situation
La largeur du bassin sera de 40 mètres et sa longueur de  80 mètres.

Posté par Merci siOk

23-01-05 à 12:33

Merci d'avoir pris ton temps pour m'expliquer tout ça.
Je vais faire un copier/coller de ta réponse parce que j'ai l'impression que je pourrai la comprendre dans peu de temps (avec un peu de volonté).

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