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Niveau Maths sup
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Etude de fonctions

Posté par
Dreamyy 23-10-18 à 09:46

Bonjour,
Je dois faire un exercice mais je bloque un peu sur une question : serait-il possible que vous m'aidiez ?
Merci d'avance.

Voici l'énoncé :

On pose \large f(x) = arcsin(\frac{2x}{1+x²})-2arctan(x).

1. (a) Déterminer l'ensemble D_{f} de définition de la fonction f.
---> D_{f} =

    (b) Préciser les valeurs de f(0), f(1), f(-1), f(\sqrt{3}), f(-\sqrt{3}).
--->  f(0)  = 0
           f(1) = 0
           f(-1) =0
           f(\sqrt{3}) =\frac{-\pi}{3}
          f(-\sqrt{3}) =\frac{\pi}{3}

    (c) Pour quelles valeurs de x peut-on calculer f'(x) (justifier) ? Calculer f'(x) dans ce cas.
  --->  Que dois-je faire ici ? Je dois regarder quand la dérivée de arcsin ne s'annule pas non ?
Si c'est le cas, ma réponse serait : \{1}

   (d) Justifier que f est constante sur l'intervalle [-1,1] et on déterminera cette constante.
--->

   (e) Démontrer que, pour [x\in [1,+\infty[\,\; ; f(x) = \pi -4 arctan(x)
--->

    (f) En déduire directement, mais en détaillant le raisonnement, une expression de f(x) lorsque x\in]-\infty,-1]. Tracer alors l'allure de la courbe représentative de f (sur  D_{f})
--->

2. Dans ce groupement de questions, nous n'utiliserons pas les résultats trouvés dans la question 1.. Soitx\in\mathbb{R}.

(a) Montrer qu'il existe \theta dans ]\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}[ tel que tan(\theta )=x.
--->

(b) Simplifier f(tan(\theta )).
--->

(c) Retrouver les résultats des questions 1.d, 1.e et 1.f.
--->

Posté par
carpediemre : Etude de fonctions 23-10-18 à 10:12

salut

1/c/ f(x) = arcsin [u(x)] + arctan x avec u(x) = ...

u est dérivable sur R

arcsin est dérivable sur ...

donc dérivée d'une fonction composée

arctan est dérivable sur ...

donc dérivée de la somme f

Posté par
carpediemre : Etude de fonctions 23-10-18 à 10:14

d/ voir du côté des formules avec x = tan (t/2) ou quelque chose du genre ...

Posté par
Dreamyyre : Etude de fonctions 23-10-18 à 12:42

Merci Carpediem,

Donc je trouve finalement que f est dérivable sur ]-1;1[.
Peux-tu confirmer mon raisonnement ?
u est dérivable sur R, arcsin est dérivable sur ]-1;1[. Donc arcsin(u(x)) est dérivable sur ]-1;1[.
Arctan est derriable sur R.
Donc f est dérivable sur ]-1;1[

Est ce que la rédaction est-elle juste ? J'ai beaucoup de mal sur les ensemble de définition/derivabilité alors que je ne devrais pas en avoir ...
merci d'avance

Pour la d) je calcule f'(x) et montre que c'est égal à 0 donc f est constante. Et en prenant un point, je trouvera c.
Est-ce juste ?

Posté par
carpediemre : Etude de fonctions 23-10-18 à 14:12

oui ça va ...

Posté par
matheuxmatoure : Etude de fonctions 23-10-18 à 18:17

bonsoir
personnellement je ne suis pas trop d'accord !

1a) ok
1b) ok
1c) non !

u(x) = 2x/(1+x²) ... définie sur R, prends ses valeurs dans [-1 ; 1] et atteint les valeurs -1 et 1 resp. en -1 et 1

donc arcsin(u(x)) est dérivable sur -{-1;1}

Posté par
matheuxmatoure : Etude de fonctions 23-10-18 à 18:19

pour 1d) il y a quand même quelques petites choses à préciser ...

la dérivée nulle (à établir) te conduit à une fonction constante sur ]-1;1[

ensuite il faut prouver qu'elle l'est aussi sur [-1;1]

ce qui n'est pas très dur avec le 1b) mais faut quand même le préciser

Posté par
Dreamyyre : Etude de fonctions 24-10-18 à 02:14

Merci pour ta réponse matheuxmatou.

Okeeyyy, je n'ai pas tout de suite compris mais en traçant la fonction u(x) j'ai compris. Merci.

Pour la 1) d.
Étant donné qu'on f(-1) et f(1) cela permet de « fermer » les crochets ?
Je calculerai la dérivée demain car je vais me coucher ^^

Posté par
matheuxmatoure : Etude de fonctions 24-10-18 à 09:50

Dreamyy @ 24-10-2018 à 02:14


Pour la 1) d.
Étant donné qu'on f(-1) et f(1) cela permet de « fermer » les crochets ?


voilà, on peut dire cela comme ça...

Posté par
Dreamyyre : Etude de fonctions 24-10-18 à 14:27

Rebonjour,

Pour la dérivée je bug un peu ...

Je trouve cela :
\huge f'(x) =\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{2x}{1+x²})²}}\times \frac{2(1-x²)}{(1+x²)^{2}} - \frac{2}{1+x²}

J'ai essayé de mettre sous la racine mais ça ne se simplfie pas vraiment ...
Je dois trouver 0 à la fin non ?

Posté par
lakere : Etude de fonctions 24-10-18 à 14:43

Bonjour,

  

Citation :
Je dois trouver 0 à la fin non ?


Oui, et il faut insister: ça se simplifie très bien

Posté par
Dreamyyre : Etude de fonctions 24-10-18 à 14:45

Merci de ta confirmation, tu n'aurais pas une piste juste pour me débloquer ... ^^'

Posté par
Dreamyyre : Etude de fonctions 24-10-18 à 14:47

J'ai trouvé !! merci ^^ je suis bete c'était tout facile

Posté par
lakere : Etude de fonctions 24-10-18 à 14:48

Posté par
lakere : Etude de fonctions 24-10-18 à 14:53

Un petit bémol; la fonction étant impaire, on travaille sur \mathbb{R}^+

  Il y a deux cas à considérer:  0\leq x <1 où f'(x)=0

  et x>1 où f'(x)\not=0

Posté par
lakere : Etude de fonctions 24-10-18 à 14:58

Plus précisément, le calcul brut donne:

   f'(x)=\dfrac{2}{1+x^2}\,\dfrac{1-x^2}{|1-x^2|}-\dfrac{2}{1+x^2}

Tu as du zapper la valeur absolue...

Posté par
Dreamyyre : Etude de fonctions 24-10-18 à 14:58

1. (d)

f'(x) est nulle pour tout x -{-1;1}.

Or d'après la qs 1. (b) f(-1) = f(1) = 0,
donc f est constante sur l'intervalle [-1,1].

On évalue en 0 par exemple. On a f(0)= 0
Donc la constante est égale à 0.

1. (e) Je ne vois pas comment faire cela ? on compose par une fonction ? (tan ?)

Posté par
Dreamyyre : Etude de fonctions 24-10-18 à 15:00

En effet, j'ai zappé la valeur absolue mais donc comment dois-je rédiger cela ?

Nous somme sur R privé de -1,1  ... :/

Posté par
lakere : Etude de fonctions 24-10-18 à 15:00

Oui sur l'intervalle ]-1,1[

Mais sur ]1,+\infty[, regarde  14h58

Posté par
lakere : Etude de fonctions 24-10-18 à 15:03

Sur ]1,+\infty[, 1-x^2<0 donc |1-x^2|=-(1-x^2)

que vaut alors f'(x) ?

Posté par
Dreamyyre : Etude de fonctions 24-10-18 à 15:04

Ah oui ce n'est pas égal à 0

Posté par
lakere : Etude de fonctions 24-10-18 à 15:06

Mais encore? Que vaut f'(x) ?

Posté par
Dreamyyre : Etude de fonctions 24-10-18 à 15:08

\huge f'(x) = \frac{-4}{1+x²}

Posté par
lakere : Etude de fonctions 24-10-18 à 15:10

Oui et tu peux en déduire f(x) sur ]1,+\infty[ par intégration (sans oublier la constante qui sera à préciser).

Posté par
Dreamyyre : Etude de fonctions 24-10-18 à 15:15

Si on intègre, on a :

f(x) = -4arctan(x) + c

f(\sqrt{3}) = 0
-4arctan(\sqrt{3}) +c = 0
  -4\frac{\pi}{3} + c = 0

Posté par
Dreamyyre : Etude de fonctions 24-10-18 à 15:17

Je n'ai rien dit, il ya le -pi/3

Posté par
lakere : Etude de fonctions 24-10-18 à 15:17

Non,non, f(\sqrt{3})=-\dfrac{\pi}{3}

Posté par
Dreamyyre : Etude de fonctions 24-10-18 à 15:18

Je raisonnais avec le 0 au début. Or nous sommes sur ]-1;+[.

Donc c'est bon !!
Merci bcp

Juste j'aurais une question : comment as-tu pensé à la valeur absolue, enfin la question est bizarre mais moi j'ai mis bêtement que \sqrt{(1-x²)²}=1-x²

Posté par
Dreamyyre : Etude de fonctions 24-10-18 à 15:19

Post croisés ^^'

Posté par
Dreamyyre : Etude de fonctions 24-10-18 à 15:21

Et pour la dernière, on trouve grâce à l'imparité de f, exact ?

Merci encore lake.


Pour la question 2 :
1) Comment justifier que tan() = x

On dit que tangente est définie sur ]-pi/2;pi/2[, elle est strictement croissante donc chaque antécédent admet une image ?(unique image)
En gros , tan est bijective sur cette intervalle

Posté par
lakere : Etude de fonctions 24-10-18 à 15:25

Oui on a bien sur ]1,+\infty[, f(x)=\pi-4\arctan\,x

Tu peux remarquer que f est continue en 1.

\sqrt{X^2}=X si X\geq 0 et \sqrt{X^2}=-X si X\leq 0

par exemple \sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2

En résumé \sqrt{X^2}=|X|

Citation :
Or nous sommes sur ]-1;+[.


Pour l'instant, nous sommes sur ]1,+\infty[

  ]-\infty,-1[ fait l'objet de la question suivante.

Posté par
lakere : Etude de fonctions 24-10-18 à 15:27

Une question après l'autre:

Citation :
Et pour la dernière, on trouve grâce à l'imparité de f, exact ?


On utilise l'imparité, oui, mais il va falloir donner une formule explicite de f(x) sur ]-\infty,-1[

Posté par
Dreamyyre : Etude de fonctions 24-10-18 à 15:30

Merci beaucoup !! pour 15:25

Donc si j'ai bien compris on a : f(x)=\pi+4\arctan\,x sur ]-\infty,-1[
car arctan est impaire

Merci bcp !! ^^

Posté par
lakere : Etude de fonctions 24-10-18 à 15:31

Non! Réfléchis un peu ...

Posté par
Dreamyyre : Etude de fonctions 24-10-18 à 15:35

Ah mais non,

f(-x) = - f(x)

Donc f(x) =  f(x)=-\pi-4\arctan\,x sur ]-\infty,-1[

Posté par
lakere : Etude de fonctions 24-10-18 à 15:41

Oui, un petit raisonnement:

Supposons x<-1, alors -x>1 et avec 1)d), on a f(-x)=\pi-4\arctan(-x)=\pi+4\,\arctan\,x

Puis avec l'imparité:

   f(x)=-f(-x)=-\pi-4\,\arctan\,x

Là, on a fait les choses "proprement"

Petite pause café pour moi.

A tout à l'heure...

Posté par
Dreamyyre : Etude de fonctions 24-10-18 à 15:43

Je ne saurais comment te remercier ^^'.
A tout à l'heure, bonne pause café :p

Posté par
lakere : Etude de fonctions 24-10-18 à 15:55

2)a)

Citation :
En gros , tan est bijective sur cette intervalle


Oui mais encore une fois, on peut faire les choses "proprement":

  La fonction tangente réalise une bijection de \left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \right[ sur \mathbb{R}

  et donc tout réel à un unique antécédent par cette fonction dans  \left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \right[

Posté par
Dreamyyre : Etude de fonctions 24-10-18 à 16:03

Je veux vraiment m'améliorer et écrire proprement ... Je suis en première année de prépa.  MPSI.
Les maths de prépa sont pas du tout les mêmes que celles de terminales, c'est dur mais j'ai envie de réussir :p parce que les maths c'est <3 .

Posté par
Dreamyyre : Etude de fonctions 24-10-18 à 16:05

Et donc si on finit cet exercice ^^',

\huge f(tan(\theta))=  \huge arcsin (\frac{2tan(\theta) }{1+(\theta)²})-2\theta

Posté par
Dreamyyre : Etude de fonctions 24-10-18 à 16:07

Sans indiscrétion, est-ce que tu es un professeur ou autre ?

Posté par
Dreamyyre : Etude de fonctions 24-10-18 à 16:09

j'ai oublié le tan dans le dénominateur

Posté par
Dreamyyre : Etude de fonctions 24-10-18 à 16:26



Or, \huge \frac{2tan(\theta )}{1+tan(\theta)^{2}}=sin(2\theta)

\huge f(tan(\theta))= \huge arcsin(sin(2\theta)) -2\theta  =\huge 0
car \theta \in ]\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2} [

Posté par
lakere : Etude de fonctions 24-10-18 à 16:27

\dfrac{2\tan\,\theta}{1+\tan^2\theta}=\sin\,2\theta

C'est une formule de trigonométrie.

Tout ce qu'on peut écrire pour l'instant:

f(\tan\,\theta)=\arcsin(\sin\,2\theta)-2\,\arctan(\tan\,\theta)

Maintenant, il reste à regarder ce qui se passe:

  1) Pour 0\leq x\leq 1, c'est à dire 0\leq \theta\leq \dfrac{\pi}{4} (facile).

  2) Pour x\geq 1, c'est à dire \theta\geq \dfrac{\pi}{4} (plus délicat)

  Un conseil pour 2): regarde ce qui se passe sur des intervalles du type \left]n\dfrac{\pi}{4},(n+1)\dfrac{\pi}{4}\right[ pour \theta sans te précipiter.

   Tu dois évidemment retomber sur les résultats de la première partie.

Posté par
Dreamyyre : Etude de fonctions 24-10-18 à 16:40

Si 0\leq \theta\leq \dfrac{\pi}{4}, alors     \frac{-\pi}{2}\leq \theta\leq \frac{\pi}{2}

on a donc f(tan(\theta))=0

Si \theta\geq \dfrac{\pi}{4}, on ne peut pas dire qu'on pourra toujours se ramener à un intervalle où on pourra appliquer les propriétés que j'ai utilisées dans le 1 ?

Posté par
lakere : Etude de fonctions 24-10-18 à 16:53

1) Si 0\leq\theta\leq \dfrac{\pi}{4} (c'est à dire 0\leq x\leq 1), on a:

0\leq 2\theta\leq \dfrac{\pi}{2} si bien que:

\arcsin(\sin\,2\theta)=2\theta et \arctan(\tan\,\theta)=\theta

  d' où f(x)=f(\tan\,\theta)=0 oui.

2) Mais si \theta\geq \dfrac{\pi}{4} (c'est à dire x\geq 1 ), ton problème revient à montrer que:

  \arcsin(\sin\,2\theta )-2\arctan(\tan\,\theta)=\pi-4\,\theta

  Ce n'est pas immédiat. Je dois quitter...

Posté par
Dreamyyre : Etude de fonctions 24-10-18 à 17:23

Je ne comprends pas trop d'où sort le \pi-4\,\theta. Nous n'avons pas le droit d'utiliser les qs précédentes.

Posté par
lakere : Etude de fonctions 24-10-18 à 20:17

On suppose donc que x=\tan\,\theta \geq1

   d'où \dfrac{\pi}{4}\leq\theta<\dfrac{\pi}{2}\Longrightarrow \arctan(\tan\,\theta)=\theta

et \dfrac{\pi}{2}\leq 2\theta<\pi\Longrightarrow \arcsin(\sin\,2\theta)=\pi-2\theta

On a bien dans ce cas là: f(\tan\,\theta)=\arcsin(\sin\,2\theta)-2\,\arctan(\tan\,\theta)=\pi-4\,\theta

Autrement dit, f(x)=\pi-4\,\arctan\,x

Posté par
Dreamyyre : Etude de fonctions 24-10-18 à 20:42

Ah oui je vois merci beaucoup lake !!!


enfin,
2. (c)  Retrouver les résultats des questions 1.d., 1.e. et 1.f.

Comment avec les questions 2.a et 2.b, on retrouve les questions 1.d, 1.e. et 1.f. ?

Pour la 1.f. : On peut dire de nouveau, que f est impaire ...
Pour la 1.e. : c'est ce que tu as dit non ?
Pour la 1.d. :  comment montrer que f est constant

Posté par
Dreamyyre : Etude de fonctions 24-10-18 à 20:43

Le truc c'est que je ne comprends pas le rapport avec le tan() ...

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