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Niveau terminale
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étude de fonctions

Posté par
lb03
20-04-21 à 12:01

Bonjour,  j'ai reçu un DM à faire pour la rentré. J'ai beau avoir lu et relu je ne comprend rien.... Je vous joins le sujet.

"Soit f la fonction numérique définie sur ]0;+∞[ par: f(x)= (e^x  -1)/x²

Partie A: Etude d'une fonction auxiliaire h
On considère la fonction h définie sur [0;+∞[ par :    h(x)=xe^x  -2e^x +2
1: étudier les variations de h sur [0;+∞[ et déterminer la limite en +∞ (Cette question je pense que je peux réussir, elle est assez simple)
2:a/ Monbtrer qu'il existe un réel a non num tel que h(a)=0
    b/ prouver que   1.59<a<1.6
    c/ Montrer que e^a =2/2-a

3: En déduire le signe de h sur [0+∞[

Partie B: Etude de la fonction f
1:a/ On admet que lim (e^x   +1)/x =1 Déterminer la limite de f en 0
                                         x->0
(Celle ci aussi est assez simple)

b/ Déterminer la limite de f en +∞
(Celle ci aussi est assez simple)

2/ Montrer que pour tout nombre x strictement positif, f'(x)= (xe^x-2e^x+2)/x^3
En déduire le sens de variations de f et dresser le tableau de variations
3/Montrer que f(a)=1/a(2-a)



Merci d'avance pour toutes les personnes qui prendront le temps de me lire ainsi que de m'apporter une éventuelle aide, même minime.

Cordialement,
LB03

Posté par
carpediem
re : étude de fonctions 20-04-21 à 12:09

salut

2/ utiliser le TVI ...

PS : plutôt que de nous dire c'est simple nous donner les résultats serait plus pertinent ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : étude de fonctions 20-04-21 à 12:09

Bonjour,
Plutôt que d'écrire "Cette question je pense que je peux réussir, elle est assez simple", fais-le et dis nous ce que tu trouves.
Idem pour les questions de la partie B.

La prochaine fois, recopie d'abord l'énoncé sans commentaire. Puis écris, bien séparés, tes commentaires.
Ce sera plus clair pour les personnes qui veulent t'aider

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : étude de fonctions 20-04-21 à 12:11

Bonjour carpediem,
Je te laisse poursuivre car je ne serai pas disponible dans l'après-midi

Posté par
lb03
re : étude de fonctions 20-04-21 à 12:34

Merci pour vos précieux conseils...
pour la question 1)
h'(x)=e^x+xe^x-2e^x =xe^x-e^x
h'(x)= e^x(x-1)

lim e^x =+∞  
x->+∞

et lim x-1 =+∞
      x-> +∞

donc lim h =+∞
          x->+∞


2/ Pour le théorème des valeurs intermédiaires de suis un peu perdue. J'ai manqué les cours sur ce cours justement...  

Posté par
lb03
re : étude de fonctions 20-04-21 à 12:35

il me semble également que h(0)=0? or 0 ne se situe pas entre 1.59 et 1.6

Posté par
carpediem
re : étude de fonctions 20-04-21 à 12:40

je ne comprends pas pourquoi tu étudies les limites de la dérivée h' ?

qu'étudie-t-on avec la dérivée ?

h(0) = 0 est une chose

ensuite l'étude propre et complète de h te permettra de répondre à la question 2/ ...

Posté par
lb03
re : étude de fonctions 20-04-21 à 13:06

Ah oui mince, c'est le signe de la dérivé qui donne les varations de la fonction. Or, la dérivé est positive, donc la fonction croissante.
et pour h(0)=0, cela fait qu'il n'existe pas un unique réal a puisqu'il y a deja le 0....

Posté par
lb03
re : étude de fonctions 20-04-21 à 13:14

Pour le signe je dis n'importe quoi. la dérivé s'annule en passant de négative à positive pour x=1
donc la fonction est décroissante sur [0;1] et croissante sur [1;+∞]

Posté par
carpediem
re : étude de fonctions 20-04-21 à 13:21

ok c'est mieux ...

maintenant calcule la limite de h en +oo ...

ensuite quand tu auras fait proprement et complètement le tableau de variation de f tu pourras alors attaquer la question 2/

ensuite il n'est jamais inutile de tracer la courbe sur sa calculatrice ou ggb pour voir ce qui se passe ...

Posté par
lb03
re : étude de fonctions 20-04-21 à 13:25

h(x)= xe^x-2e^x+2 = e^x(x-2)+2

lim e^x =+∞   et lim x-2 = +∞
x-> +∞                   x->+∞

par produit, lim h =+∞
                           +∞

Posté par
carpediem
re : étude de fonctions 20-04-21 à 13:27

lb03 @ 20-04-2021 à 13:25

h(x)= xe^x-2e^x+2 = e^x(x-2)+2

lim e^x =+∞   et lim x-2 = +∞
x-> +∞                   x->+∞

par produit et en ajoutant 2, lim h(x) =+∞
                           +∞


ok

Posté par
lb03
re : étude de fonctions 20-04-21 à 13:37

Mon tableau de variations est fait.
Pour le 2/a  il s'agirait de dire que
h(1)=-0.718
h(2)=2.
h(1) est négatif, h(2) est positif, donc l'équation h(a)=0 admet au moins une solution sur [1,2]

Posté par
carpediem
re : étude de fonctions 20-04-21 à 14:22

et même tu peux être plus précis en justifiant l'unicité ... et surtout en prenant les valeurs de l'énoncé ...

Posté par
lb03
re : étude de fonctions 20-04-21 à 15:03

Les valeurs 1.59 et 1.6?
Comment être plus précis ?

Posté par
carpediem
re : étude de fonctions 20-04-21 à 18:10

calcule leurs images par h ...

Posté par
lb03
re : étude de fonctions 20-04-21 à 19:25

Calculer les images de 1.59 et 1.6 par h?
H(1.59)= 1.59e1.59-2e1.59+2=-0.41e1.59+2
H(1.6)= 1.6e1.6-2e1.6+2 = -0.4e1.6

Posté par
carpediem
re : étude de fonctions 20-04-21 à 19:38

il manque un +2 dans le deuxième ...

ensuite il faut (malheureusement) prendre la calculatrice pour donner une valeur approchée de ces images et constater qu'elles n'ont pas même signe ...

Posté par
lb03
re : étude de fonctions 20-04-21 à 21:21

Alors on a h(1.6)=0.0187 a 10-4 près par défaut
H(1.59)=-0.0105 a 10-4 pres par defaut.

On a donc h(1.6) positif et h(1.59) négatif

Posté par
lb03
re : étude de fonctions 21-04-21 à 10:48

Re bonjour,
Je ne vois pas comment on peut dissocier les réponses de la question 2a ainsi que de la question 2b. Puisqu'il faudrait prouver que l'image de 1.59 e t  par h sont de signe contraire pour affirmer qu'il existe un unique réel a tel que h(a)=

Posté par
carpediem
re : étude de fonctions 21-04-21 à 11:41

tu commences par montrer qu'il y a une solution dans l'intervalle [1, 2] par le TVI : ok

ensuite tu poursuis en affinant comme le demande l'énoncé en montrant avec des valeurs approchées qu'elle est entre 1,59 et 1,60

Posté par
lb03
re : étude de fonctions 21-04-21 à 11:47

Merci beaucoup!
En revanche pour la troisième question que devons nous utiliser en données?
Je ne vois vraiment pas par où commencer le raisonnement ...

Posté par
carpediem
re : étude de fonctions 21-04-21 à 11:49

que sais-tu de ce nombre a ?

Posté par
lb03
re : étude de fonctions 21-04-21 à 11:50

que son image par h est 0 et qu'il se situe entre 1.59 et 1.6

Posté par
carpediem
re : étude de fonctions 21-04-21 à 11:57

donc h(a) = 0

ben écris le avec l'expression de h ...

Posté par
lb03
re : étude de fonctions 21-04-21 à 12:04

h(a)= aea-2ea+2
         <=> aea-2ea+2=0
          <=> 2ea-2=aea

Voila ce que je trouve....

Posté par
carpediem
re : étude de fonctions 21-04-21 à 12:06

c'est l'idée ... mais il faut le faire en regardant le résultat qu'on te donne ...

Posté par
lb03
re : étude de fonctions 21-04-21 à 12:14

Dans le sens inverse c'est beaucoup plus simple:
          ea=2/2-a
<=> ea(2-a)=2
<=> 2ea-aea=2
<=>-2ea+aea+2=0

Posté par
carpediem
re : étude de fonctions 21-04-21 à 12:25

certes mais il faut le rédiger dans le bon sens : partir de ce que tu sais : h(a) = 0 pour arriver à ce qui est demandé !!!

Posté par
lb03
re : étude de fonctions 21-04-21 à 12:37

dans ce cas
h(a)= aea-2ea+2 =0
       <=>-aea+2ea=2
      <=>ea(-a+2)=2
      <=> ea=2/(-a+2)
       <=> ea2/(2-a)

Posté par
lb03
re : étude de fonctions 21-04-21 à 12:38

lb03 @ 21-04-2021 à 12:37

dans ce cas
h(a)= aea-2ea+2 =0
       <=>-aea+2ea=2
      <=>ea(-a+2)=2
      <=> ea=2/(-a+2)
       <=> ea=2/(2-a)


J'ai oublié le égal ici

Posté par
carpediem
re : étude de fonctions 21-04-21 à 12:39

en justifiant bien sûr que a 2 ...

Posté par
lb03
re : étude de fonctions 21-04-21 à 12:40

Oui bien-sur..

Posté par
lb03
re : étude de fonctions 21-04-21 à 13:28

Pour la question 1/a de la partie b ce serait dire que diviser par 0 ou par 0² c'est la même chose donc la limite c'est aussi 1?

Posté par
carpediem
re : étude de fonctions 21-04-21 à 13:32

pas du tout !!

f(x) = (1/x) * (e^x - 1)/x ...

Posté par
lb03
re : étude de fonctions 21-04-21 à 14:22

on a donc lim (ex-1)/x = 1
                     x->0
et
lim 1/x =1
x->0
donc lim f=1
          x->0

Posté par
lb03
re : étude de fonctions 21-04-21 à 14:24

pour la 1/b on doit passer par un schéma de composition?

Posté par
lb03
re : étude de fonctions 21-04-21 à 14:31

ou simplement utiliser les croissances comparées?
lim (ex-1)/x =+∞     par croissances comparées
x->+∞

lim 1/x =0
x->+∞

par croissances comparées:
lim f(x)=+∞
x->∞

Posté par
carpediem
re : étude de fonctions 21-04-21 à 14:37

lb03 @ 21-04-2021 à 14:22

on a donc lim (ex-1)/x = 1
                     x->0
et
lim 1/x =1     hhhhooooo !!!
x->0
donc lim f=1
          x->0

Posté par
lb03
re : étude de fonctions 21-04-21 à 14:42

lim 1/x=-∞
x->0-

lim 1/x= +∞
x->+∞

Posté par
lb03
re : étude de fonctions 21-04-21 à 15:36

pour la question 3 j'ai trouvé la première partie, j'ai bien compris aussi que f'(x)=h(x)/x^3. Mais comment pour autant trouver les variations ?

Posté par
carpediem
re : étude de fonctions 21-04-21 à 18:54

tu n'as toujours pas donné la limite de f(x) en 0 par valeur supérieure ...

Posté par
lb03
re : étude de fonctions 27-04-21 à 10:19

Bonjour, désolé je n'avais pas vu votre message

lim 1/x=+∞  
x->0+
donc

lim f =+∞
+∞

Posté par
carpediem
re : étude de fonctions 27-04-21 à 11:25

le "donc" est un peu rapide : il faut justifier plus proprement en donnant les limites des deux facteurs du propduit

carpediem @ 21-04-2021 à 13:32

f(x) = (1/x) * (e^x - 1)/x ...

Posté par
lb03
re : étude de fonctions 27-04-21 à 12:35

on a lim  (e^x-1)/ = 1
                    x->0

et lim 1/x = +∞
     x-> 0+

par produit,
lim f =+∞
0+

limf=-∞
0-

Posté par
carpediem
re : étude de fonctions 27-04-21 à 13:06

ok ... mais inutile de le faire en 0- d'après l'énoncé ...

Posté par
lb03
re : étude de fonctions 28-04-21 à 11:06

Bonjour,

oui, inutile puisque h est définie sur [0;+∞ [

Posté par
lb03
re : étude de fonctions 28-04-21 à 11:08

pour la question b on a donc par croissances comparées
lim h=+∞
+∞

Posté par
lb03
étude de la fonction f 28-04-21 à 19:22

Bonsoir,
j'ai un dm en deux parties à rendre pour demain, seulement je suis bloquée aux deuc dernières questions. Il s'agit d'étudier une fonction afin de pouvoir étudier l'autre.
En bref dans la partie A on sait que
h(x)= xex-2ex+2  définie pour tout x>=0
h'(x)=ex(x-1)
h croissante sur [1;+ l'infini[ et décroissante sur [0;1]
Il existe un unique réel  1.59<a<1.6 tel que h(a)=0


voici les deux questions sur lesquelles je bloque:
on a f(x)=(ex-1)/x²
1/ montrer que pour tout nombre x strictement positif f'(x)=( xex-2ex+2)/x3
en déduire le sens de variation de f et dresser le tableau de variation

2/ montrer que f(a)=1/a(2-a)

j'ai réussi la première partie de la 1 en faisant remarquer que f'(x)=h(x)/x3

*** message déplacé ***

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : étude de la fonction f 28-04-21 à 19:31

Bonjour,
Tu as sans doute étudié le signe de h(x) dans la 1ère partie.
Sinon, fais le.

*** message déplacé ***

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