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étude de fonctions
Bonjour, j'ai reçu un DM à faire pour la rentré. J'ai beau avoir lu et relu je ne comprend rien.... Je vous joins le sujet.
"Soit f la fonction numérique définie sur ]0;+∞[ par: f(x)= (e^x -1)/x²
Partie A: Etude d'une fonction auxiliaire h
On considère la fonction h définie sur [0;+∞[ par : h(x)=xe^x -2e^x +2
1: étudier les variations de h sur [0;+∞[ et déterminer la limite en +∞ (Cette question je pense que je peux réussir, elle est assez simple)
2:a/ Monbtrer qu'il existe un réel a non num tel que h(a)=0
b/ prouver que 1.59<a<1.6
c/ Montrer que e^a =2/2-a
3: En déduire le signe de h sur [0+∞[
Partie B: Etude de la fonction f
1:a/ On admet que lim (e^x +1)/x =1 Déterminer la limite de f en 0
x->0
(Celle ci aussi est assez simple)
b/ Déterminer la limite de f en +∞
(Celle ci aussi est assez simple)
2/ Montrer que pour tout nombre x strictement positif, f'(x)= (xe^x-2e^x+2)/x^3
En déduire le sens de variations de f et dresser le tableau de variations
3/Montrer que f(a)=1/a(2-a)
Merci d'avance pour toutes les personnes qui prendront le temps de me lire ainsi que de m'apporter une éventuelle aide, même minime.
Cordialement,
LB03
salut
2/ utiliser le TVI ...
PS : plutôt que de nous dire c'est simple nous donner les résultats serait plus pertinent ... 
Bonjour,
Plutôt que d'écrire "Cette question je pense que je peux réussir, elle est assez simple", fais-le et dis nous ce que tu trouves.
Idem pour les questions de la partie B.
La prochaine fois, recopie d'abord l'énoncé sans commentaire. Puis écris, bien séparés, tes commentaires.
Ce sera plus clair pour les personnes qui veulent t'aider 
Merci pour vos précieux conseils...
pour la question 1)
h'(x)=e^x+xe^x-2e^x =xe^x-e^x
h'(x)= e^x(x-1)
lim e^x =+∞
x->+∞
et lim x-1 =+∞
x-> +∞
donc lim h =+∞
x->+∞
2/ Pour le théorème des valeurs intermédiaires de suis un peu perdue. J'ai manqué les cours sur ce cours justement...
je ne comprends pas pourquoi tu étudies les limites de la dérivée h' ?
qu'étudie-t-on avec la dérivée ?
h(0) = 0 est une chose
ensuite l'étude propre et complète de h te permettra de répondre à la question 2/ ...
Ah oui mince, c'est le signe de la dérivé qui donne les varations de la fonction. Or, la dérivé est positive, donc la fonction croissante.
et pour h(0)=0, cela fait qu'il n'existe pas un unique réal a puisqu'il y a deja le 0....
Pour le signe je dis n'importe quoi. la dérivé s'annule en passant de négative à positive pour x=1
donc la fonction est décroissante sur [0;1] et croissante sur [1;+∞]
ok c'est mieux ...
maintenant calcule la limite de h en +oo ...
ensuite quand tu auras fait proprement et complètement le tableau de variation de f tu pourras alors attaquer la question 2/
ensuite il n'est jamais inutile de tracer la courbe sur sa calculatrice ou ggb pour voir ce qui se passe ...
h(x)= xe^x-2e^x+2 = e^x(x-2)+2
lim e^x =+∞ et lim x-2 = +∞
x-> +∞ x->+∞
par produit et en ajoutant 2, lim h(x) =+∞
+∞
ok
Mon tableau de variations est fait.
Pour le 2/a il s'agirait de dire que
h(1)=-0.718
h(2)=2.
h(1) est négatif, h(2) est positif, donc l'équation h(a)=0 admet au moins une solution sur [1,2]
et même tu peux être plus précis en justifiant l'unicité ... et surtout en prenant les valeurs de l'énoncé ...
Calculer les images de 1.59 et 1.6 par h?
H(1.59)= 1.59e1.59-2e1.59+2=-0.41e1.59+2
H(1.6)= 1.6e1.6-2e1.6+2 = -0.4e1.6
il manque un +2 dans le deuxième ...
ensuite il faut (malheureusement) prendre la calculatrice pour donner une valeur approchée de ces images et constater qu'elles n'ont pas même signe ...
Alors on a h(1.6)=0.0187 a 10-4 près par défaut
H(1.59)=-0.0105 a 10-4 pres par defaut.
On a donc h(1.6) positif et h(1.59) négatif
Re bonjour,
Je ne vois pas comment on peut dissocier les réponses de la question 2a ainsi que de la question 2b. Puisqu'il faudrait prouver que l'image de 1.59 e t par h sont de signe contraire pour affirmer qu'il existe un unique réel a tel que h(a)=
tu commences par montrer qu'il y a une solution dans l'intervalle [1, 2] par le TVI : ok
ensuite tu poursuis en affinant comme le demande l'énoncé en montrant avec des valeurs approchées qu'elle est entre 1,59 et 1,60
Merci beaucoup!
En revanche pour la troisième question que devons nous utiliser en données?
Je ne vois vraiment pas par où commencer le raisonnement ...
Dans le sens inverse c'est beaucoup plus simple:
ea=2/2-a
<=> ea(2-a)=2
<=> 2ea-aea=2
<=>-2ea+aea+2=0
certes mais il faut le rédiger dans le bon sens : partir de ce que tu sais : h(a) = 0 pour arriver à ce qui est demandé !!!
dans ce cas
h(a)= aea-2ea+2 =0
<=>-aea+2ea=2
<=>ea(-a+2)=2
<=> ea=2/(-a+2)
<=> ea=2/(2-a)
J'ai oublié le égal ici
2 ...Pour la question 1/a de la partie b ce serait dire que diviser par 0 ou par 0² c'est la même chose donc la limite c'est aussi 1?
ou simplement utiliser les croissances comparées?
lim (ex-1)/x =+∞ par croissances comparées
x->+∞
lim 1/x =0
x->+∞
par croissances comparées:
lim f(x)=+∞
x->∞
on a donc lim (ex-1)/x = 1
x->0
et
lim 1/x =1 hhhhooooo !!!
x->0
donc lim f=1
x->0
pour la question 3 j'ai trouvé la première partie, j'ai bien compris aussi que f'(x)=h(x)/x^3. Mais comment pour autant trouver les variations ?
le "donc" est un peu rapide : il faut justifier plus proprement en donnant les limites des deux facteurs du propduit
f(x) = (1/x) * (e^x - 1)/x ...
Bonsoir,
j'ai un dm en deux parties à rendre pour demain, seulement je suis bloquée aux deuc dernières questions. Il s'agit d'étudier une fonction afin de pouvoir étudier l'autre.
En bref dans la partie A on sait que
h(x)= xex-2ex+2 définie pour tout x>=0
h'(x)=ex(x-1)
h croissante sur [1;+ l'infini[ et décroissante sur [0;1]
Il existe un unique réel 1.59<a<1.6 tel que h(a)=0
voici les deux questions sur lesquelles je bloque:
on a f(x)=(ex-1)/x²
1/ montrer que pour tout nombre x strictement positif f'(x)=( xex-2ex+2)/x3
en déduire le sens de variation de f et dresser le tableau de variation
2/ montrer que f(a)=1/a(2-a)
j'ai réussi la première partie de la 1 en faisant remarquer que f'(x)=h(x)/x3
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