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étude de fonctions valeur absolue et trigonométriques
Bonjour a tous, je cherche les exercices seule mais comme j'ai
quelques difficultés je prefererai comparer mes resultats d'autres,
c'est pourquoi j'espere que quelqu'un sera inspirer
par mon DM de maths
ex1
soit definie par f(x)=(valeur absolue de(x+1))+(x/(x²-1)) avec x different
de 1 et -1
1)etudier la fonction(limites variations...) ca j'y arrive!
2)verifier que y=x+1 et y=-x-1 sont asymptotes obliques a la courbe de f respectivement
en +inf et -inf.etudier la position de la courbe par rapport a ses
asymptotes
3)trouver une equation tangenteT a la courbe au point A d'abscisse 0
etudier la position de la courbe par rapport a T
4)en utilisant une propriete des fonctions continues et monotones sur
un intervalle que vous precisez, demontrer que f(x)=0 a une solution
unique alpha sur l'intervalle ]-1;1[ et donner un encadrement
de alpha d'amplitude 0.1
cet exo j'y arrive c'est juste pour verifier
par contre je suis pas a l'aise en trigo donc les 2 autres me paraissent
+ durs
ex2
soit f definie par f(x)=E(x)sin(pi.x) quelque soit x
1)exprimer f(x) a l'aide de sin(pi.x) lorsque x appartient a l'un
des intervalle [-1;0[ [0;1[ [1;2[
en deduire que f est continue sur [-1;2[
2)etudier la derivabilité de f en x=0 et x=1
etudier les variations de f sur [-1;2[
ex3
etudier et tracer la fonction f(x)=8sinx-tanx
en deduire en fonction d'un reel m le nombre de racines dans [0;2pi[
de l'equation
(m/sinx)+(1/cosx)=8
merci d'avance et bon week end!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
j'ai posté le sujet il est a la page 27 et il a pour titre
: fonction valeur absolue et fonction trigo.
je desespere si quelqu'un peut m'aider je l'en
remercie!!!!!!!!!!!
*** message déplacé ***
Non, je pense que c'est à la page 27 de ce forum... Enfin, il
restera pas toujours à la page 27 mais bon...
C'est ce sujet
*** message déplacé ***
ex1.
2)
f(x) = |x+1| + (x/(x²-1))
Pour x < -1 , on a:
f(x) = -(x+1) + (x/(x²-1))
et comme lim(x-> -oo) (x/(x²-1)) = 0, la droite d'équation y =
-(x+1) est asymptote oblique à la courbe représentant f(x) du coté
des x négatifs.
Pour x > -1, on a:
f(x) = (x+1) + (x/(x²-1))
et comme lim(x-> -oo) (x/(x²-1)) = 0, la droite d'équation y =
x+1 est asymptote oblique à la courbe représentant f(x) du coté des
x positifs.
Pour x < -1, étudier le signe de : f(x) - (-(x+1))
f(x) - (-(x+1)) = (x/(x²-1)) < 0
-> la courbe représentant f(x) est en dessous de l'asymptote y
= -(x+1) pour x < - 1.
Position de l'asymptote d'équation y = -(x+1) par rapport à le courbe
représentant f(x).
Pour x > -1 étudier le signe de : f(x) - (-(x+1))
f(x) - (-(x+1)) = 2(x+1) + (x/(x²-1))
f(x) - (-(x+1)) = (2(x+1)(x²-1) + x)/(x²-1)
f(x) - (-(x+1)) = (2x³-2x+2x²-2 + x)/(x²-1)
f(x) - (-(x+1)) = (2x³+2x²-x-2)/(x²-1)
La seule racine réelle de 2x³+2x²-x-2 = 0 est x = 0,87555...
f(x) - (-(x+1)) > 0 pour x dans ]-1 ; 0,87555...[, la courbe représentant
f(x) est au dessus de l'asymptote y = -(x+1)
f(x) - (-(x+1)) = 0 pour x= 0,87555... la courbe représentant f(x) et
l'asymptote y = -(x+1) coïncident.
f(x) - (-(x+1)) < 0 pour x dans ]0,87555...; 1[, la courbe représentant
f(x) est en dessous de l'asymptote y = -(x+1)
f(x) - (-(x+1)) > 0 pour x dans ]1 ; oo[, la courbe représentant f(x)
est au dessus de l'asymptote y = -(x+1)
Position de l'asymptote d'équation y = (x+1) par rapport à le courbe
représentant f(x).
Pour x < -1 étudier le signe de : f(x) - (x+1)
f(x) - (x+1) = -2(x+1) + (x/(x²-1))
f(x) - (x+1) = -2(x+1) + (x/(x²-1))
f(x) - (x+1) = (-2(x+1)(x²-1) + x)/(x²-1)
f(x) - (x+1) = (-2x³+2x-2x²+2 + x)/(x²-1)
f(x) - (x+1) = (-2x³-2x²+3x+2)/(x²-1)
La racine de -2x³-2x²+3x+2 = 0 inférieure à -1 est x = -1,55138...
f(x) - (x+1) > 0 pour x dans ]-oo ; -1,55138...[, la courbe représentant
f(x) est au dessus de l'asymptote y = x+1
f(x) - (x+1) = 0 pour x = -1,55138... la courbe représentant f(x) et l'asymptote
y = x+1 coïncident.
f(x) - (x+1) < 0 pour x dans ]-1,55138...-1[, la courbe représentant f(x)
est en dessous de l'asymptote y = x+ 1
Pour x > -1 étudier le signe de : f(x) - (x+1)
f(x) - (x+1) = (x/(x²-1))
f(x) - (x+1) > 0 pour x dans ]-1 ; 0[ , la courbe représentant f(x) est
au dessus de l'asymptote y = x+1.
f(x) - (x+1) = 0 pour x = 0, la courbe représentant f(x) et l'asymptote
y = x+1 coïncident.
f(x) - (x+1) < 0 pour x dans ]0 ; 1[ , la courbe représentant f(x) est
en dessous de l'asymptote y = x+1.
f(x) - (x+1) > 0 pour x dans ]1 ; oo[ , la courbe représentant f(x) est
au dessus de l'asymptote y = x+1.
-----
3)
f(x) = x+1 + (x/(x²-1))
f '(x) = 1 + (x²-1-2x²) /(x²-1)²
f(0) = 1
f '(0) = 1 - 1 = 0
Donc la tangente est // à l'axe des abscisses.
Eq de la tangente: y = 1.
Etudier le signe de f(x) - 1
Pour x < - 1:
f(x) - 1 = -(x+1) + (x/(x²-1)) - 1
f(x) - 1 = -x - 2 + (x/(x²-1))
f(x) - 1 = [-(x+2)(x²-1) + x]/(x²-1)
f(x) - 1 = [-x³+x-2x²+2 + x]/(x²-1)
f(x) - 1 = [-x³-2x²+2x + 2]/(x²-1)
La seule racine de -x³-2x²+2x + 2 = 0 inférieure à 1 est x = -2,48119...
f(x) - 1 > 0 pour x dans ]-oo ; - 2,48119...[ -> La courbe représentant
f(x) est au dessus de T.
f(x) - 1 = 0 pour x = - 2,48119... -> La courbe représentant f(x) et T
coïncident.
f(x) - 1 < 0 pour x dans ]- 2,48119...-1[ -> La courbe représentant f(x)
est en dessous de T.
Pour x > - 1:
f(x) - 1 = (x+1) + (x/(x²-1)) - 1
f(x) - 1 = x + (x/(x²-1))
f(x) - 1 = (x(x²-1)+x)/(x²-1)
f(x) - 1 = x³/(x²-1)
f(x) - 1 > 0 pour x dans ]-1 ; 0[ -> La courbe représentant f(x) est au
dessus de T.
f(x) - 1 = 0 pour x = 0 -> La courbe représentant f(x) et T coïncident.
f(x) - 1 < 0 pour x dans ]0 ; 1[ -> La courbe représentant f(x) est en
dessous de T.
f(x) - 1 > 0 pour x dans ]1 ; oo[ -> La courbe représentant f(x) est au
dessus de T.
----
4)
On a dû montrer dans la partie 1 que f(x) est décroissante sur ]-1 ;
1[
lim(x-> -1+) f(x) = +oo
lim(x-> +1-) f(x) = -oo
Des 3 lignes qui précèdent, on conclut que f(x) s'annule pour une
et une seule valeur de x sur ]-1 ; 1[.
f(0,7) = 0,327... > 0
f(0,8) = -0,42... < 0
0,7 < alpha < 0,8
-----------------------------------------
Ex 2.
1)
Pour x dans [-1 ; 0[
E(x) = -1
f(x) = -sin(Pi.x)
lim(x-> 0-) f(x) = 0
---
Pour x dans [0 ; 1[
E(x) = 0
f(x) = 0.
f(0) = 0
lim(x-> 1-) f(x) = 0
---
Pour x dans [1 ; 2[
E(x) = 1
f(x) = sin(Pi.x)
f(1) = sin(Pi) = 0
---
Comme sin(x) est une fonction continue et que lim(x-> 0-) f(x) = f(0)
et que lim(x-> 1-) f(x) = f(1), on conclut que f(x) est continue
sur [-1 : 2[.
-----
2)
Pour x dans [-1 ; 0[
f(x) = -sin(Pi.x)
f '(x) = - Pi.cos(Pi.x)
lim(x-> 0-) f '(x) = -Pi.
alors que pour x dans [0 ; 1[ , f'(x) = 0
Donc f(x) n'est pas dérivable en 0.
--
Pour x dans [1 ; 2[ ,
f(x) = sin(Pi.x)
f '(x) = Pi.cos(Pi.x)
lim(x-> 1+) f '(x) = Pi.
alors que pour x dans [0 ; 1[ , f'(x) = 0
Donc f(x) n'est pas dérivable en 1.
--
Pour x dans [-1 ; 0[
f '(x) = - Pi.cos(Pi.x)
f '(x) > 0 pour x dans [-1 ; -1/2[ -> f(x) croissante.
f '(x) = 0 pour x = -1/2
f '(x) < 0 pour x dans ]-1/2 ; 0[ -> f(x) décroissante.
Il y a un maximum de f(x) pour x = -1/2, ce max vaut f(-1/2) = 1.
Pour x dans [0 ; 1[, f(x) = 0
Pour x dans [1 ; 2[
f '(x) = Pi.cos(Pi.x)
f '(x) < 0 pour x dans [1; 3/2[ -> f(x) décroissante.
f '(x) = 0 pour x = 3/2
f '(x) > 0 pour x dans ]3/2 ; 2[ -> f(x) décroissante.
Il y a un minimum de f(x) pour x = 3/2, ce min vaut f(3/2) = -1.
------------------------------------
ex 3.
Cela devient trop long pour moi, à ton tour.
Juste un coup de main pour le domaine de définition et la dérivée.
f(x) = 8sin(x) - tg(x)
domaine de définition de f: R/{Pi/2 + kPi} avec k dans Z.
f '(x) = 8.cos(x) - (1/cos²(x))
f '(x) = (8.cos³(x) - 1)/cos²(x)
f '(x) = ((2cos(x))³ - 1³)/cos²(x)
f '(x) = (2cos(x) - 1)(4cos²(x) + 2cos(x) + 1)/cos²(x)
Et comme (4cos²(x) + 2cos(x) + 1) = 0 n'a pas de solutions,
f '(x) a le signe de [2cos(x) - 1] dans le domaine de défibition
de f(x).
f '(x) = 0 pour cos(x) = 1/2 donc pour x = +/- Pi/3 + 2kPi avec
k dans z.
Cela devient trop long pour moi, à ton tour.
ex1.
2)
f(x) = |x+1| + (x/(x²-1))
Pour x < -1 , on a:
f(x) = -(x+1) + (x/(x²-1))
et comme lim(x-> -oo) (x/(x²-1)) = 0, la droite d'équation y =
-(x+1) est asymptote oblique à la courbe représentant f(x) du coté
des x négatifs.
Pour x > -1, on a:
f(x) = (x+1) + (x/(x²-1))
et comme lim(x-> -oo) (x/(x²-1)) = 0, la droite d'équation y =
x+1 est asymptote oblique à la courbe représentant f(x) du coté des
x positifs.
Pour x < -1, étudier le signe de : f(x) - (-(x+1))
f(x) - (-(x+1)) = (x/(x²-1)) < 0
-> la courbe représentant f(x) est en dessous de l'asymptote y
= -(x+1) pour x < - 1.
Position de l'asymptote d'équation y = -(x+1) par rapport à le courbe
représentant f(x).
Pour x > -1 étudier le signe de : f(x) - (-(x+1))
f(x) - (-(x+1)) = 2(x+1) + (x/(x²-1))
f(x) - (-(x+1)) = (2(x+1)(x²-1) + x)/(x²-1)
f(x) - (-(x+1)) = (2x³-2x+2x²-2 + x)/(x²-1)
f(x) - (-(x+1)) = (2x³+2x²-x-2)/(x²-1)
La seule racine réelle de 2x³+2x²-x-2 = 0 est x = 0,87555...
f(x) - (-(x+1)) > 0 pour x dans ]-1 ; 0,87555...[, la courbe représentant
f(x) est au dessus de l'asymptote y = -(x+1)
f(x) - (-(x+1)) = 0 pour x= 0,87555... la courbe représentant f(x) et
l'asymptote y = -(x+1) coïncident.
f(x) - (-(x+1)) < 0 pour x dans ]0,87555...; 1[, la courbe représentant
f(x) est en dessous de l'asymptote y = -(x+1)
f(x) - (-(x+1)) > 0 pour x dans ]1 ; oo[, la courbe représentant f(x)
est au dessus de l'asymptote y = -(x+1)
Position de l'asymptote d'équation y = (x+1) par rapport à le courbe
représentant f(x).
Pour x < -1 étudier le signe de : f(x) - (x+1)
f(x) - (x+1) = -2(x+1) + (x/(x²-1))
f(x) - (x+1) = -2(x+1) + (x/(x²-1))
f(x) - (x+1) = (-2(x+1)(x²-1) + x)/(x²-1)
f(x) - (x+1) = (-2x³+2x-2x²+2 + x)/(x²-1)
f(x) - (x+1) = (-2x³-2x²+3x+2)/(x²-1)
La racine de -2x³-2x²+3x+2 = 0 inférieure à -1 est x = -1,55138...
f(x) - (x+1) > 0 pour x dans ]-oo ; -1,55138...[, la courbe représentant
f(x) est au dessus de l'asymptote y = x+1
f(x) - (x+1) = 0 pour x = -1,55138... la courbe représentant f(x) et l'asymptote
y = x+1 coïncident.
f(x) - (x+1) < 0 pour x dans ]-1,55138...-1[, la courbe représentant f(x)
est en dessous de l'asymptote y = x+ 1
Pour x > -1 étudier le signe de : f(x) - (x+1)
f(x) - (x+1) = (x/(x²-1))
f(x) - (x+1) > 0 pour x dans ]-1 ; 0[ , la courbe représentant f(x) est
au dessus de l'asymptote y = x+1.
f(x) - (x+1) = 0 pour x = 0, la courbe représentant f(x) et l'asymptote
y = x+1 coïncident.
f(x) - (x+1) < 0 pour x dans ]0 ; 1[ , la courbe représentant f(x) est
en dessous de l'asymptote y = x+1.
f(x) - (x+1) > 0 pour x dans ]1 ; oo[ , la courbe représentant f(x) est
au dessus de l'asymptote y = x+1.
-----
3)
f(x) = x+1 + (x/(x²-1))
f '(x) = 1 + (x²-1-2x²) /(x²-1)²
f(0) = 1
f '(0) = 1 - 1 = 0
Donc la tangente est // à l'axe des abscisses.
Eq de la tangente: y = 1.
Etudier le signe de f(x) - 1
Pour x < - 1:
f(x) - 1 = -(x+1) + (x/(x²-1)) - 1
f(x) - 1 = -x - 2 + (x/(x²-1))
f(x) - 1 = [-(x+2)(x²-1) + x]/(x²-1)
f(x) - 1 = [-x³+x-2x²+2 + x]/(x²-1)
f(x) - 1 = [-x³-2x²+2x + 2]/(x²-1)
La seule racine de -x³-2x²+2x + 2 = 0 inférieure à 1 est x = -2,48119...
f(x) - 1 > 0 pour x dans ]-oo ; - 2,48119...[ -> La courbe représentant
f(x) est au dessus de T.
f(x) - 1 = 0 pour x = - 2,48119... -> La courbe représentant f(x) et T
coïncident.
f(x) - 1 < 0 pour x dans ]- 2,48119...-1[ -> La courbe représentant f(x)
est en dessous de T.
Pour x > - 1:
f(x) - 1 = (x+1) + (x/(x²-1)) - 1
f(x) - 1 = x + (x/(x²-1))
f(x) - 1 = (x(x²-1)+x)/(x²-1)
f(x) - 1 = x³/(x²-1)
f(x) - 1 > 0 pour x dans ]-1 ; 0[ -> La courbe représentant f(x) est au
dessus de T.
f(x) - 1 = 0 pour x = 0 -> La courbe représentant f(x) et T coïncident.
f(x) - 1 < 0 pour x dans ]0 ; 1[ -> La courbe représentant f(x) est en
dessous de T.
f(x) - 1 > 0 pour x dans ]1 ; oo[ -> La courbe représentant f(x) est au
dessus de T.
----
4)
On a dû montrer dans la partie 1 que f(x) est décroissante sur ]-1 ;
1[
lim(x-> -1+) f(x) = +oo
lim(x-> +1-) f(x) = -oo
Des 3 lignes qui précèdent, on conclut que f(x) s'annule pour une
et une seule valeur de x sur ]-1 ; 1[.
f(0,7) = 0,327... > 0
f(0,8) = -0,42... < 0
0,7 < alpha < 0,8
-----------------------------------------
Ex 2.
1)
Pour x dans [-1 ; 0[
E(x) = -1
f(x) = -sin(Pi.x)
lim(x-> 0-) f(x) = 0
---
Pour x dans [0 ; 1[
E(x) = 0
f(x) = 0.
f(0) = 0
lim(x-> 1-) f(x) = 0
---
Pour x dans [1 ; 2[
E(x) = 1
f(x) = sin(Pi.x)
f(1) = sin(Pi) = 0
---
Comme sin(x) est une fonction continue et que lim(x-> 0-) f(x) = f(0)
et que lim(x-> 1-) f(x) = f(1), on conclut que f(x) est continue
sur [-1 : 2[.
-----
2)
Pour x dans [-1 ; 0[
f(x) = -sin(Pi.x)
f '(x) = - Pi.cos(Pi.x)
lim(x-> 0-) f '(x) = -Pi.
alors que pour x dans [0 ; 1[ , f'(x) = 0
Donc f(x) n'est pas dérivable en 0.
--
Pour x dans [1 ; 2[ ,
f(x) = sin(Pi.x)
f '(x) = Pi.cos(Pi.x)
lim(x-> 1+) f '(x) = Pi.
alors que pour x dans [0 ; 1[ , f'(x) = 0
Donc f(x) n'est pas dérivable en 1.
--
Pour x dans [-1 ; 0[
f '(x) = - Pi.cos(Pi.x)
f '(x) > 0 pour x dans [-1 ; -1/2[ -> f(x) croissante.
f '(x) = 0 pour x = -1/2
f '(x) < 0 pour x dans ]-1/2 ; 0[ -> f(x) décroissante.
Il y a un maximum de f(x) pour x = -1/2, ce max vaut f(-1/2) = 1.
Pour x dans [0 ; 1[, f(x) = 0
Pour x dans [1 ; 2[
f '(x) = Pi.cos(Pi.x)
f '(x) < 0 pour x dans [1; 3/2[ -> f(x) décroissante.
f '(x) = 0 pour x = 3/2
f '(x) > 0 pour x dans ]3/2 ; 2[ -> f(x) décroissante.
Il y a un minimum de f(x) pour x = 3/2, ce min vaut f(3/2) = -1.
------------------------------------
ex 3.
Cela devient trop long pour moi, à ton tour.
Juste un coup de main pour le domaine de définition et la dérivée.
f(x) = 8sin(x) - tg(x)
domaine de définition de f: R/{Pi/2 + kPi} avec k dans Z.
f '(x) = 8.cos(x) - (1/cos²(x))
f '(x) = (8.cos³(x) - 1)/cos²(x)
f '(x) = ((2cos(x))³ - 1³)/cos²(x)
f '(x) = (2cos(x) - 1)(4cos²(x) + 2cos(x) + 1)/cos²(x)
Et comme (4cos²(x) + 2cos(x) + 1) = 0 n'a pas de solutions,
f '(x) a le signe de [2cos(x) - 1] dans le domaine de défibition
de f(x).
f '(x) = 0 pour cos(x) = 1/2 donc pour x = +/- Pi/3 + 2kPi avec
k dans z.
Cela devient trop long pour moi, à ton tour.
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