Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Etude de la nature d'une suite récurrente
Bonsoir,
Je demande un peu d'aide sur le forum car je me suis laissé débordé et je ne plus le temps de repasser, 2 ou 3 heures sur cet exercice, je vous met ce qui me pose problème et ce que j'ai trouvé :
Enoncé :
Soit deux réels a 
]0,4[ et u0[0;1], on note f définie sur [0;1] par f(x)=ax(1-x). On cherche la nature de la suite en fonction de a.
1) a) Montrer que l'intervalle est stable sur [0;1] --> OK, ça c'était simple
b) Etudier le signe de f(x)-x sur [0,1] --> Positive sur [0;(a-1)/a] et sinon négative
2) Réprésentation avec différents cas : OK
3) Montrer que si a]0;1], (un) converge et présicer sa limite --> J'ai essayé plein de choses : décomposer l'intervalle 0;1 et faire en fonction de a mais ça ne marchait pas ce que je faisais.
4) Montrer que si a]1;2], (un) converge et présicer sa limite --> Même problème
5) On suppose que a]2;1+
5] Montrer que les deux suites extraites sont convergentes et à valeurs dans [1/2;a/4] APCR --> comme cela dépend de la monotonie de f mais que f est croissante et décroissante, je suis bloqué (pour la monotonie des deux suites extraites.
6)On suppose que a]2;3]. On demande les points fixes de fof(x)-x sur [0,1], en déduire que la suite est convergente et préciser sa limite : Les 4 points fixes sont 0; a-1/a; ((a+1)/a-((a²-2a+2)/a²) )/2; ((a+1)/a+((a²-2a+2)/a²) )/2. Mais pour la convergeance toujours le même soucis.
7) Intervalle a]3;4] --> On suppose le point fixe unique autre que 0 qui est 
. On suppose que (un) converge. On doit :
a) Montrer que sa limite c'est
... Pour le reste (b,c,d) on verra si j'arrive jusque là.
Merci d'avance aux âmes charitables qui se donneront la peine de m'aider 
je te fais les dessins pour que tu visualises ce qu'il se passe, ça aide à comprendre ce qu'il faut démontrer dans chaque cas :
a]0;1] 
donc là facile, décroissance de la suite vers 0
a]1;2] 
convergence vers le second point fixe
a]2;1+5] 
convergence vers second point fixe mais enroulement autour de la limite
Au fait cette suite est dans la catégorie des suites appelées "suite logistique". tu trouveras des renseignements là : 
Merci Glapion mais les dessins que tu me donnes, j'ai du les faire à la question 2) 
Mon problème vient juste des démonstrations ...
Désolé de dormir =P
Pour la question 3) voyons...
Tu as un+1 = a*un(1 - un) avec a ]0;1]
On pourrait essayer de montrer que la suite un est décroissante et comme est elle est minorée par 0, ça montrerais la convergence.
Parce que tu crois que je n'ai pas essayé xD C'est la première chose que j'ai essayé mais regarde :
un+1 - un = f(un)-un --> Même signe que f(x)-x, sauf que f(x)-x est parfois positif parfois négatif, c'est pour ça que je bloque sinon la question ne m'aurait pas poser de problème !
Mais là on a un+1 = a*un*(1-un) avec a < 1 et comme 0<un<1 on a aussi 1 - un < 1
Du coup on un+1 = k(n)*un avec k(n) < 1.
C'est trivialement décroissant dans le cas où a ]0;1]
C'est dans les cas après que ça va devenir un peu plus tendu :3
Je rectifie un peu mon post, on a 0 < a 
1 et aussi 0 < 1 - un 1
Ca permet d'être vraiment clair sur le fait que c'est pas des nombres négatifs :3
Et ça rajoute aussi le cas possible où a = 1, mais qui se traite pareil.
Ah oui d'accord, merci ! Du coup deux questions : la suite à deux points fixes, comment prouver qu'elle converge vers soit 0 dans le premier cas, soit vers a-1/a dans le deuxième cas ?
Et l'autre question : Doit-on avoir le même raisonnement pour a]1;2] ? (un) est croissante car : un+1 = a*un*(1-un) avec 1<a2 et 0<1-un1 donc un+1=k(n)*un avec k(n)<1 donc un est croissante. Or un est majorée par a-1/a donc elle est convergente. Après même question qu'en haut comment bien prouver quelle est convergente vers a-1/a ?
Je rajoute à ma question le fait qu'en plus il est dit sur plusieurs sites et dans mon cours que le point fixe est unique mais ici il y en a deux ? Donc comment choisir quel est le bon point fixe ? (Hors graphique)
En fait je pensais créer deux suites et prouver quelles sont adjacentes pour la 4 mais cela ne fonctionne toujours pas ...
salut
soit r un point fixe de f <==> f(r) = r
donc
or [0, 1] est stable par f donc
premier cas (je te laisse traiter les cas a = 0 ou a = 1) alors
qx = |a(1 - (x - r)| < 1 donc |f(x) - r| < qx|x - r|
en remplaçant x par un on peut même trouver un rang N tel que pour n > N :: q est indépendant de n donc où M est une constante
la suite converge donc vers r (= 0)
ensuite pour affiner les choses il faut ensuite connaître les valeurs de r donc résoudre l'équation f(r) = r
5/ quelles sont les deux sous-suites que tu considères ?
il faut fort probablement calculer f o f(x)
....
Ouais mais c'est justement la question que j'ai posais : j'ai déjà resolu f(x)=x on trouve 0 et a-1/a Mais mon problème c'est justement de savoir lequel on choisit (enfin le prouver parce que les graphiques me donnent la solution.
J'ai déjà traité le cas où a appartient a 0;1 ma question était pour 1;2 ... Merci néanmoins de m'aider, j'espère que tu pourras me répondre !
Annuler
connectez vous
analyse en post-bac