Niveau Maths sup

Etude de polynômes et Moivre

Posté par
mozuko 09-10-10 à 12:02

Bonjour,
Un exercice de mon dm de maths me résiste, je cherche un peu d'aide.
Voila l'exercice :

a) Montrer à l'aide de la formule de Moivre que, pour tout réel

$\mathrm{sin}(2n\theta)=\mathrm{sin}(\theta)\mathrm{cos}(\theta)\bigsum_{p=0}^{n-1}(-1)^2\begin{pmatrix}2n \\2p+1 \end{matrix}\mathrm{sin}(\theta)^2p(1-\mathrm{sin}(\theta)^2)^(n-1-p)$

b) En déduire que :

$\forall x\in[-1,1], fn(x)=xsqrt(1-x^2)Pn(x)$
ou Pn est un polynome que l'on précisera

c) expliciter P1, P2 et P3

d) calculer Pn(0) et Pn(1)
En déduire l'ensemble des solutions de l'équation Pn(x)=0 sur [0,1]

Pour a) je sais que la formule de moivre est de la forme (cos(x)+isin(x))^n=cos(nx)+isin(nx). Donc il faudrait peut étre que j'essaie de jouer sur les puissances dans le membre de gauche. mais je ne sais pas comment m'y prendre, pourriez-vous m'aider ?
Merci d'avance

Posté par re : Etude de polynômes et Moivre 09-10-10 à 13:38

Bonjour

Ta formule du a doit être inexacte: le (-1) est sans doute à la puissance p ou qqchose comme cela.

A mon avis, il faut développer (cos2n+isin2n)ⁿ par la formule du binôme.