Bonjour, j'ai quelques questions de ce DM, mais je ne vois pas comment faire les questions 2), si quelqu'un a une idée.

Pour tout réel, on pose sh(x)= (e^x - e^-x)/2   et ch(x)=(e^x + e^-x)/2

1) Montrer que pour tout x appartenant à R, (ch(x)^2 -sh(x)^2)=1        

          (ça j'ai fait)

2) Le but de cette question est de montrer que la fonction sh réalise une bijection de R sur R et de déterminer la bijection réciproque.
a) Soit y un réel. Résoudre l'équation d'inconnue z :  z^2 -2yz -1 =0

           comme y est une constante, j'ai fait le discriminant, et je trouve que,
          . si y<-1 il n'y a pas de solutions
          . si y=-1, z=1
          . si y>-1,  z'= (-2y -V(discriminant))/2  et z''= (-2y + V(discriminant))/2

                 Je ne sais pas si c'est juste...

b) Montrer que pour tout y réel, V(y^2 +1) > y > -V(y^2 +1)
  
                 Cela me semble logique mais je ne vois pas bien comment démontrer.

c) Montrer qe pour tous x et y réels, sh(x)=y est équivalent à e^2x  -2ye^x -1=0, et en déduire que pour tout y réel il existe un unique réel x tel que sh(x)=y. Donner l'expression de x en fonction de y et conclure.

                 Cela doit être en rapport avec la question a), mais je ne vois pas trop, c'est pour cela que je me
                 demande si je n'ai pas fait une faute à la a).


Merci d'avance.