#msg1299478 posté le 27/09/2007 à 14:48
étude fonctions
profil de yayahposté par : yayah
Bonjour,

Une question concernant l'étude de la fonction( ex -1 ) / x. La dérivée est xex -ex + 1 le tout divisé par x2
Dans le corrigé on me dit que la dérivée est du signe du numérateur. Si ex est toujours positive et xex dépend du signe de x comment peut-on affirmer que la dérivée dépend du seul signe de xex ? Et l'autre partie du numérateur qu'en fait-on ? Je m'étais lancée sur la recherche des valeurs qui annulent la dérivée et je ne vois pas pourquoi on réduit la recherche du sens de variation de f(x) à la recherche du signe de la seule expression xex...
J'espère avoir été claire..
Merci d'avance.

Ah autre problème pourquoi la limite de l'expression (ex-1)/x donne t'elle 1 quand x tend vers O. Même en partant d'une expression (ex-e0)/x-0 pour lever l'indétermination quand x tend vers 0 je ne vois pas comment on obtient ce résultat...
Merci encore de votre aide précieuse !!

Bonjour.

Le dénominateur étant x², le signe est celui du numérateur en entier : N(x) = xe^x - e^x + 1.

A partir de là j'écrirais N(x) = e^x(x - 1 + e^-x)

Bien sûr, e^x > 0, donc le signe de N(x) est celui de P(x) = x - 1 + e^-x

Cette nouvelle fonction P est à étudier séparément.

A plus RR.

Merci

C'était effectivement ce dans quoi je m'étais lancée mais le corrigé du prof dans le cned était bien d'étudier le sul signe de xex d'où mon interrogation...;

Concernant, le taux d'accroissemnt de h en 0, j'avoue que ça ne me parle guère, pour moi quand x tendait vers 0 ex tendait vers 1 et E0 =1. Pour le dénominateur on tendait vers 0 d'où j'en aurais déduis que l'ensemble tendait vers 0..mais je ne voudrais pas abuser plus de votre temps..
Concernant, le signe de la dérivée, je ne pensais pas qu'on pouvait dériver la dérivée ( si j'ai bien suivi ) et en déduire le signe de la dérivée donc par conséquent le sens de variation de la fonction f(x).

Je voulais juste préciser que je ne suis pas élève mais une malheureuse prof de ses qui prépare les maths pour l'oral de l'agreg avec vous le voyiez bien des difficultés à s'y remettre... Voilà merci de votre aide. A une prochaine fois!!

*** message déplacé ***

salut,

pour essayer de répondre à tes questions.
pour la limite, on a ce qu'on appelle une indétermination.
Le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers 0 (Or quand on divise par une quantité proche de 0, ca tend vers l'infini)
Dans ces cas de limites non triviales, il y a plusieurs façons de déterminer la valeur (manipulation des termes, simplification d'une fraction rationnelle, développements limités, etc.) Voir des exos de terminales pour des méthodes simples, et s'attaquer aux développement limités après
Petite astuce : avec une calculatrice graphique, pour des fonctions "abordables", en général, on peut voir la continuité et donc la limite en un point où cela pose problème.
Typiquement, tracez sin(x)/x avec une calculette, et vous verez qu'en x=0, cela vaut 1.

On peut en effet dériver une fonction autant de fois que l'on veut, tant que celle ci est dérivable.
ex : f(x)=x^3+x^2+x+1
f'=3x^2+2x+1
f"=6x+2

certaines fonctions ne sont dérivables qu'une fois (heu, pas d'exemple en tête sur le moment)

enfin, pour voir le signe d'une fonction, l'une des astuces peut en effet être d'étudier la fonction (d'où dérivée + limites + tableau de variation). On peut alors dans certains cas trouver le signe.

Ptitjean

*** message déplacé ***