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Etude locale solution d eq diff
Bonjour,
(E) : xy''+(x-4)y'-3y=0
I intervalle de 
*+
1) Montrer par récurrence que toute solution de (E) sur I=*+ est de classe C
sur I
2) 
n
, on pose un=
n(1)
En dérivant n fois la relation : x''(x)+(x-4)'(x)-3(x)=0
Montrer que pour tout n, on a : un+2+(n-3)(un+1+un)=0
Merci d'avance
Bonjour;
1)Toute solution de est clairement de classe
sur
.
Soit une solution de
de classe
sur
(pour un certain entier
) comme
on voit que
est de classe
sur
et donc que
est de classe
sur
.
Conclusion:
Toute solution de est indéfiniment dérivable sur
.
Le 2) est une simple application de la formule de dérivation de Libnitz.
Sauf erreurs 
1) La solution doit déjà être C^1 puisqu'on parle de y" et y" est continue sur I puisqu'égale à y"=((x-4)y'-3y)/x avec y ey y' continue.
En dérivant E, tu obtiens y"' en fonction de y, y', y" qui sont tous continues et ainsi de suite.
2) Dérive n fois et évalue en x=1, le résultat tombe !
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