Le DL de arctan en 0 a l'ordre 2n+1 donne : arctan(x)=x-x^3/3+x^5/5+........+(-1)^n/(2n+1)* x^(2n+1)+o(x^(2n+1))

Donc P_2n+1(0)= (-1)^n/(2n+1)
     P_2n(0)=0

errratum : P2n+1(0)= (-1)^n * (2n)!

Je ne comprends pas pourquoi on met (2n)! et non (n-1)! ?

si c'est bon j'ai compris, j'avais mal identifier ^^'

Je bloque de nouveau ^^"
6.(a) décomposer la fraction rationnelle f'(x)=1/(1+x²) en éléments simples de
(b) en déduire qu pour tout n1, P_n est de la forme: P_n=b_n((X-i)-(X+i)ⁿ) où b_n est un complexe (dépendant de n) à déterminer
(c) pour n2, en déduire les racines du polynôme P_n: l'expression de ces racines fera clairement apparaître qu'elles sont toutes réelles
(d) en déduire la factorisation de P_n dans [X]

j'ai trouvé la (a) fort heureusement avec (1/2i)((X-i)-(X+i))
(b) mais là je bloque totalement, je n'arrive pas à identifier même au premier rang, j'aurais plutôt mis du -n-1 en puissance

du coup je ne peux pas vraiment faire la suite!

Tu appelles g= f'

Normalement tu trouves g(k)=((-1)^k*k!)/(2i) (1/(X-i)^(k+1)-1/(X+i)^(k+1))

f(n)=g(n-1)

f(n)(x)=((-1)^(n-1)(n-1)!)/(2i) (1/(X-i)ⁿ  -  1/(X+i)ⁿ)  = [((-1)^(n-1)(n-1)!)/(2i) * ((X+i)ⁿ - (X-i)ⁿ)] / (1+X²)ⁿ  

En identifiant, tu as Pn

Je ne comprends pas comment on trouve le coefficient avec (-1)^k*k! ..

Derives successivement les 1/(x-i) par exemple. Tu verras ensuite que tu peux conjecturer une formule (qui se demontre aisement par recurrence)

Okay, en dérivant je retombe bien sur le même résultat!
Pour les racines j'ai posé P(z)=0 avec z=
pour factoriser j'utilise d'alembert gauss en mettant le coefficient dominant  en facteur soit bn mais je dois être dans et non dans à cause du 2i :/

Effectivement, les racines sont bien ce que tu as ecrit avec k allant de 0 a n-1. N'oublies pas qu'elles s'ecrivent aussi  z(k)= cotan(k*pi/n)  !

Il n'y a plus de 2i en realite: Le coeff dominant de (X+i)^n-(X-i)^n est 2i (utilise le binome de newton pr les 2 sommes, le polynome est de degre n-1)

Donc Pn a pour coeff dominant (-1)^(n-1) (n-1)!

Duc coup Pn= (-1)^(n-1) (n-1)! * (k=0..n-1) (X-cotan(k*pi/n))

Rectificatif : k ne peut etre nul. k va de 1 a n-1

c'est ce qu'il me semblait mais j'avais trouvé (-1)ⁿ⁺¹ n! comme coefficient dominant en répondant à la question 4 du coup je trouve ça bizarre que ce n soit pas le même

J'ai fait une erreur le coeff dominant de (X+i)^n-(X-i)^n est 2i*n !!
Donc ca s'arrange bien puisque (-1)^(n-1)=(-1)^(n+1) et (n-1)!*n = n!

Et donc  Pn= (-1)^(n+1)* n! *  (k=1..n-1) (X-cotan(k*pi/n)) pour conclure

ça semble, en effet plus simple merci!

Je ais encore vous/te déranger mais je ne trouve pas la parité de ce polynome P en regardant pour les n impairs et pairs ^^"
ce DM me désespère ...

On te demande de demontrer que Pn est pair ou impair selon les n c'est ca? Quelle est la question exacte?

déterminer la parité de Pn en fonction de n
en déduire que pour tout p appartenant à il existe un polynome Q [X] de degré p tel que :
P_2p+1 (X) = Q_p(X²)
J'ai remplacé par 2p+1 en ayant mis -X sauf d j'ai que je n'arrive pas à enlever ou à faire quelque chose quand j'ai (k=1...n-1) (-X-cotan(...))

Dans le cas n=2p+1, Pn doit etre pair vu la question d'apres. En remplacant par -X tu obtiens en sortant les signes - (k=1..2p) (X+cotan(k*pi/(2p+1))

A partir de la , je pense qu'il faut exploiter le fait que cotan((2p+1-k)*pi/(2p+1))= cotan(pi-k*pi/(2p+1))= - cotan (k*pi/(2p+1))
Je pense donc qu'un changement de variable i= 2p+1-k devrait arranger les choses

J'ai trouvé que pour n=impair on avait Pn(X)=Pn(-X) en posant n=2p+1

J'ai essayé de factoriser P_2p+1 et j'ai trouvé que c'était égale à Q_p(X²)=(2p+1)!(k=1...p) X²-cotan²(k*pi/(2p+1))


je dois ensuite calculer les coefficient de X^p et X^p-1 dans Q_p en utilisant la 6(b), ça je pense l'avoir réussi, j'ai remplacé dans b_n

je dois maintenant factoriser Q en trouvant ses racines et en déduire que (k=1...p)cotan²(k*pi/(2p+1))= p*(2p+1)/3