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étude variation f et convergence suite
bonsoir, j'ai beaucoup de difficultés à traiter l'exo suivant :
soit a >0 un réel et la fonction fa définie pour tt réel t>0 par:
fa(t) = 1/2 * (t + a²/t)
ainsi qu'une suite (Un)nEN de nombres réels déterminée par son 1er terme U0>0 par la relation de récurance :
pour tout n E N, Un+1 = fa(Un)
1. lim de fa(t) quand t tend vers +inf ? justifier l'existence d'une asymptote oblique au voisinage de +inf et donne sa position par rapport a fa
2. lim fa(t) quand t tend vers 0 par valeurs positives ?
3. dérivée de fa sur R+*
4.en déduire que pour tout t>0, fa(t)>=a
5. que dire de la suite (Un) dans le cas particulier ou U0=a ?
6. dans la suite, on revient au cas général U0>0
démontrer que : pour tout t>a, 0<f'a(t)<1/2
7. montrer que pour tout entier naturel non nul n , Un>=a
8. prouver que pour tout entier naturel non nul n, 0=<Un+1 - a =< 1/2(Un - a)
puis que |Un - a| =< (1/2)^(n-1) |U1 - a|
pouvez vous m'aider déja pour les 1eres questions svp ??
merci beaucoup et bonne soirée !
1/
ton asymptote est y=x/2
pour connaitre la position de la courbe p./ a l'asymptote, tu poses et tu étudies le signe de g.
c'est toujours positif donc
tj au dessus de l'asymptote.
2/
3/
On remarque:
x=a est unpoint critique de ta fonction sur 
+. Bon, là je suis trop fatigué, je vois pas comment prouver que c'est le minimum, mais ca doit etre tout con, je te laisse chercher.
Tu conclues en disant que si x=a est le minimum, alors pour tous les autres points de +, ta courbe est au fessus de a, c'est bien ce qu'on te demande.
Bon courage pour la suite...(mais cela ne me semble tout de meme pas insurmontable 
)
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