Bonjour,
J'essaie de comprendre la méthode d'Euler explicite mais je n'arrive à rien, et je trouve qu'il y a très peu d'exemples sur le net.
Voici un exemple que j'ai trouvé sur cette page : http://sonia_madani.club.fr/Cloaque/Arithmurgistan/Temporel/ordre.html (point 2. Exemple illustratif).
L'équation différentielle est :
La solution est donnée, c'est
Seulement je ne comprends pas comment arriver à la solution.
J'ai bien compris que la formule est
mais je ne vois pas en quoi elle m'aide pour trouver y(t)
Merci d'avance pour votre aide, je cherche des exemples sur google depuis hier mais je trouve rien à ma portée
Bonjour,
la méthode d'Euler est une méthode d'approximation numérique de la solution.
En aucun cas elle ne sert à trouver la solution exacte de l'équation différentielle.
D'ailleurs, quand on connait la solution exacte, on n'utilise pas la méthode d'Euler !
Ici, le principe est d'étudier la méthode d'Euler sur une équation dont on connait la solution.
Ainsi, on peut comparer la solution issue de la méthode numérique avec la vraie solution, afin de voir si c'est précis ou non.
ah ok merci. Donc je cherchais quelque chose que je risquais pas de trouver^^
Suite à ton explication j'ai tenté de voir ce que donne l'approximation par euler explicite sur l'exemple que j'ai donné dans mon premier post.
Je mets sous la bonne forme :
J'identifie et
Avec la formule j'ai donc :
donc
donc
Ca ne me semble pas du tout correct, surtout qu'en faisant de la même façon pour y2 j'obtiens 6...
Vous pouvez m'expliquer comment m'en servir svp ?
J'ai l'impression que tu as pris x1=1, en partant de x0=0.
Cela fait un pas de calcul égal à 1, ça me semble beaucoup, il faut prendre un pas de calcul plus petit pour avoir une précision acceptable.
d'accord
Cette fois j'ai pris un pas de 0.1
Voici ce que ça me donne :
Est-ce que c'est juste ? Et après ça, est-ce qu'il faut faire quelque chose d'autre ? (enfin je veux dire si on me donne un exercice où il faut calculer euler explicite, généralement il est demandé quoi ?)
Tu peux vérifier avec la solution exacte donnée par : F(t)=1/(1+t)
F(0,1) = 0,909
F(0,2) = 0,833
F(0,3) = 0,769
Bon, visiblement, y a un problème quelque part ...
ail
pourtant j'ai appliqué la formule il me semble.
A début je prends x1 = 0.1 pour avoir un pas de 0.1-0 = 0.1, puis je prends x2 = 0.2 (0.2-0.1 = 0.1)
Et pour f(xi, yi) je prends -(xi)²
Je pense qu'il y a une erreur dans ce que je prends pour f(xi, yi) parce que je ne comprends pas pourquoi y'a 2 variables. Mais je suis incapable de trouver l'erreur
dy = -y² . dt
y(t1 + dt) = y(t1) - y(t1)².dt
Si dt est choisi = 0,1 :
y(0) = 1
y(0,1) = y(0) - (y(0))².dt = 1 - 1²*0,1 = 0,9
y(0,2) = y(0,1) - (y(0,1))².dt = 0,9 - 0,9²*0,1 = 0,819
y(0,3) = 0,819 - 0,819²*0,1 = 0,752
...
-----
A comparer avec les valeurs exactes calculées par 1/(1+t)
y(0,1) = 1/1,1 = 0,909...
y(0,2) = 1/1,2 = 0,833...
y(0,3) = 1/1,3 = 0,769...
-----
Si on veut que la méthode d'Euler donne des résulats moins éloignés des valeurs exactes, il faut choisir un pas plus petit.
Sauf distraction.
En fait, tu te trompes dans l'utilisation de :
D'ailleurs, cette formule est fausse, ce serait plutôt :
avec :
Ce qui donne :
Donc :
Ce qui est déjà plus cohérent avec les valeurs exactes :
d'accord merci bien
En fait je crois que j'ai pris la formule de euler implicite lors de mes calculs. Or il me semblait avoir lu qu'elle était pourtant plus précise. Je me trompe ?
je vous embête encore un peu. J'essaie cette fois avec Euler implicite, dont la formule est :
J'ai trouvé ça, avec un pas de 0.1 :
Je me doute que je me suis encore lamentablement planté. Pouvez-vous me dire où svp ?
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