bonjour

tu peux montrer que tout point de H d'adhérence à A apprtient à A

soit f une fonction de H qui est un point d'adhérence de A

donc
f est continue
et
il existe une suite fn de A qui converge uniformément vers f ( au sens de la norme de convergence uniqforme)

donc limfn=f
comme qq soit n fn(0)=0 et donc f(0)=limfn(0)=0 ; cad fn(0) converge simplement vers f(0) puisqu'il ya convergence uniforme

de plus

Int0à1fn(x)dx >= 1

Lim(Int0à1fn(x)dx)=Int0à1(limfn(x))dx  ; car il y a convergence uniforme sur [0,1] de fn vers f

comme Lim(Int0à1fn(x)dx)>=1 car Int0à1fn(x)dx >= 1

donc

Int0à1(limfn(x))dx >=1

Int0à1f(x)dx >= 1

donc f appartient à A

donc A est fermé

Merci pour votre réponse pertinente et précise.
J'ai un autre problème:
Dans le même exercice que précèdemment, je dois montrer que pour tout f appartientant à A, on a d(0_E, f)>1.
Je pense qu'il faut que je trouve un n appartenant à ]0;1] tel que pour tout t appartenant à ]0;n], on ait: |f(t)|<=1/2...
Ensuite, je dois montrer que d(0_E, A)=1.
Ce résultat me semble évident en regardant la question précèdente, car dans la question précèdente, on montre que POUR TOUT f... d(0_E, f)>1. Il reste à montrer que 1 est le plus grand des minorants... ?
Merci pour votre attention pour mes questions !
A bientôt,
poutch

ce n'est pas très précis pour moi puisque je n'ai pas l'énoncé complet.

Peux-tu stp mettre l'énoncé complet.

sinon

OE appartient à A sev

donc OE=limgn (gn) suite d'élément de A

tu utilise la continuité uniforme de la fonction distance
ceci te permetra d'inverser les limites à sous le signe de la distance

Soit E l'ev des fonctions bornées de [o,1] dans R, muni de la norme de la convergence uniforme, et d la distance associée.
On note H le sev de E formé par les applications continues et on considère:
A={f  H/ f(0)=0 et  de 0 à 1 f(t)dt>=1}.
Merci pour votre coup de pouce !

tu as

d(Gn,f)=Sup(sur[0,1])|gn(x)-f(x)|>=Int(0à1)|gn(x)-f(x)|dx

d est continue donc limd(gn,f)=d(limgn,f)=d(OE,f)>=Int(0à1)|f(x)|dx>=In(0à1)Int(0à1)(f(x))dx>=1 , car f appartient à A.

donc d(OE,f)>=1