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Evaluation d une somme

Posté par
smallshybird 08-09-05 à 12:58

Bonjour a tous !

Ceci est mon premier message sur ce forum et je vais deja vous solliciter : je dois evaluer

E(sqrt(n))
-----
\
  \                1
  /            ---------
/                 ln(i)
------
i=2

J'espère tomber sur du O((ln n)^2), sinon je me suis trompé quelque part... Eh bien je n'y arrive pas...

Si vous pouvez m'aider, merci !
Et sinon, merci de m'avoir lu.

Posté par
cinnamonre : Evaluation d une somme 08-09-05 à 13:07

Salut,

4$\sum_{i=2}^{E(\sqrt{n})} \frac{1}{ln(i)}

4$= \sum_{i=2}^{E(\sqrt{n})} -ln(i)

4$=-\sum_{i=2}^{E(\sqrt{n})} ln(i)

4$=ln(2\times3\times...\times E(\sqrt{n}))

4$=ln(E(\sqrt{n})!).

à+


Posté par
cinnamonre : Evaluation d une somme 08-09-05 à 13:08

Zut, j'ai oublié les signes moins aux deux dernières lignes .

Posté par
smallshybirdre : Evaluation d une somme 08-09-05 à 13:12

J'ai comme un doute sur ton passage de la premiere a la deuxieme ligne

Posté par
cinnamonre : Evaluation d une somme 08-09-05 à 13:13

"J'ai comme un doute sur ton passage de la premiere a la deuxieme ligne"

Bah pourquoi ?

Posté par
smallshybirdre : Evaluation d une somme 08-09-05 à 13:15

J'ai peur de pas etre reveillé mais bon,

-ln(i)=ln(1/i) et non pas 1/(ln i)

Voilà !

Posté par
cinnamonre : Evaluation d une somme 08-09-05 à 13:34

Ah oui exact désolée . On va devoir se trimbaler quelques e mais ils devraient se simplifier...
Je vais voir ça.

Posté par
smallshybirdre : Evaluation d une somme 08-09-05 à 13:36

ok merci !

moi je seche en tout cas...
Pour info, ne t'occupe pas des termes de bord, j'ai juste besoin de connaitre le comportement asymptotique.

Posté par
smallshybirdre : Evaluation d une somme 09-09-05 à 09:37

up !!
Quelqu'un a une idée ?
Merci.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Evaluation d une somme 09-09-05 à 09:57

Bonjour,

Une piste partielle exploitant \ln(1+x)\le x :
\bigsum_{i=2}^{E(\sqrt{n})}\frac{1}{\ln i}=\bigsum_{i=1}^{E(\sqrt{n})-1}\frac{1}{\ln(1+i)}\ge\bigsum_{i=1}^{E(\sqrt{n})-1}\frac{1}{i}=C+\ln(E(\sqrt{n})-1)+\eps(E(\sqrt{n})-1)

Nicolas

Posté par philoux (invité)re : Evaluation d une somme 09-09-05 à 09:59

Bonjour,

Essayer de la situer par rapport à I = Somme( 2 à Vn, 1/ln(x) )

( la somme que tu cherches est la surface des rectangles de base=1, cette somme est inférieure à I )

Mais je ne sais pas trouver une primitive de 1/ln(x)

Philoux

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Evaluation d une somme 09-09-05 à 11:12

Bonjour tout le monde;juste une idée,
Notons pour n\ge4 \fbox{S_n=\Bigsum_{i=2}^{[sqrt{n}]}\frac{1}{ln(i)}}
on pourrait voir que:
\fbox{S_n>\Bigsum_{i=2}^{[sqrt{n}]}\frac{1}{i-1}>\Bigsum_{i=2}^{[sqrt{n}]}\int_{i-1}^{i}\frac{dt}{t}=\int_{1}^{[sqrt{n}]}\frac{dt}{t}=ln([sqrt{n}])>ln(sqrt{n}-1)} donc en particulier \fbox{\lim_{n\to+\infty}S_n=+\infty}
d'autre part vu que: \fbox{\{{\forall n\ge1\\ sqrt{n}<sqrt{n+1}<sqrt{n}+1} et vu la croissance de la fonction partie entière on a que \fbox{[sqrt{n}]\le[sqrt{n+1}]\le[sqrt{n}]+1} on peut alors écrire:
\fbox{S_n\le S_{n+1}\le S_n+\frac{1}{ln([sqrt{n}]+1)}<S_n+\frac{1}{ln(sqrt{n})}}
On pourrait peut-^tre à partir de ces encadrements décrire le comportement asymptotique de S_n
je continue à chercher

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Evaluation d une somme 10-09-05 à 03:36

mieux encore;
avec la convexité de la fonction \fbox{f:\{{x>1\\x\to\frac{1}{ln(x)}} on a pour \fbox{n\ge4} :
\fbox{\frac{S_n}{[sqrt{n}]-1}=\frac{1}{[sqrt{n}]-1}\Bigsum_{i=2}^{[sqrt{n}]}f(i)\ge f(\frac{1}{[sqrt{n}]-1}\Bigsum_{i=2}^{[sqrt{n}]}i)=\frac{1}{ln(1+\frac{[sqrt{n}]}{2})}\ge\frac{1}{ln([sqrt{n}])}\ge\frac{1}{ln(sqrt{n})}=\frac{2}{ln(n)}}
d'où:\fbox{S_n\ge\frac{2([sqrt{n}]-1)}{ln(n)}}

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Evaluation d une somme 10-09-05 à 16:11

En fait l'inégalité précédente s'obtient d'une maniére élémentaire (sans utiliser la convéxité):
\fbox{ln(sqrt{n})S_n=\Bigsum_{i=2}^{[sqrt{n}]}\frac{ln(sqrt{n})}{ln(i)}\ge\Bigsum_{i=2}^{[sqrt{n}]}1=[sqrt{n}]-1} d'où \fbox{\forall n\ge4\\S_n\ge\frac{2([sqrt{n}]-1)}{ln(n)}}
et on voit smallshybird que:
\fbox{\frac{S_n}{ln^2(n)}\ge\frac{2([sqrt{n}]-1)}{ln^3(n)}\to+\infty} donc \fbox{ln^2(n)=o(S_n)}

Posté par
smallshybirdre : Evaluation d une somme 12-09-05 à 11:18

Merci elhor_abdelali !

En fait je m'étais rendu compte ce week end que je ne pouvais pas esperer du O((ln n)²)
Vous avez repondu a ma question, merci !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Evaluation d une somme 12-09-05 à 15:13

Bonjour smallshybird;
en fait on voit que \fbox{\forall(\alpha<\frac{1}{2})\forall(\beta)\\n^{\alpha}ln^{\beta}(n)=o(S_n)}
et comme \fbox{0\le S_{n+1}-S_n\le\frac{2}{ln(n)}} et donc que \fbox{\lim_{n\to\infty}S_{n+1}-S_n=0} et par suite que \fbox{S_n=o(n)} (cézaro)
cela laisse à penser qu'un équivalent de S_n est probablement de la forme \fbox{Kn^{\alpha}ln^{\beta}(n)\\ \frac{1}{2}\le\alpha<1,K>0}


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