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évaluation limite

Posté par matou (invité) 30-12-04 à 20:47

Salut,

  Je n'arrive pas à déterminer les limites suivantes:
-en 0:
       limx->0((sinx*ln(1+x2))/(x*tanx)

-en 0:
      limx->0(((1+x)(ln(x)/x)-x)/(x2lnx))


                  Merci d'avance, Au revoir
                       MATH

Posté par Ramses (invité)VOUS ETES EN QUELLE CLASSE.?! 30-12-04 à 20:52

La 1ére limite exige un DL, la 2éme est triviale


Ramses (X promo 2006)

Posté par miquelon (invité)re : évaluation limite 30-12-04 à 22:01

Bonjour,

Pour Ramses :

Vous dites : la 2éme (limite)est triviale
Ramses (X promo 2006)

ça, c'est sûr que ce genre d'indication peut grandement l'aider !

C'est quoi, l'X, l'association des pédagogues anonymes ?

Et puis, MrRamses, quand on se dit "ingénieur" et qu'on annonce X promo 2006, y a comme qui dirait un anachronisme quelque part...

P.S. Je sais que mon message va avoir une durée de vie très courte sur le forum vu son contenu mathématique relativement réduit, et son côté polémique, mais des indications comme celles de Mr Ramses II, ça me fait...
Allez A+

Posté par matou (invité)évaluation 31-12-04 à 11:34

Salut,
  
   Je voudrais savoir si ces deux limites possèdent bien une limite car à l'aide de la calculette, je ne trouve pas de limite.
  

                                 Merci,  MATH

Posté par matou (invité)évaluation limite 31-12-04 à 16:55

Salut,

  Je voudrais avoir des précision sur le développement limité à effectuer ainsi que la raison pour laquelle la seconde limite à déterminer est triviale.

Posté par matou (invité)évaluation limite 01-01-05 à 15:32

Salut,

   Je pense avoir trouvé la première limite. J'ai trouvé qu'elle valait 0.
   Mais je n'arrive pas à déterminer la seconde car j'arrive à chaque fois à une limite indéfinie.


                 Merci d'avance, Au revoir
                       MATH

Posté par Mayhem555 (invité)re : évaluation limite 01-01-05 à 15:49

Salut a tous

miquelon : dans bcp d'écoles d'ingé lorsqu'on dit promo 2006, c'est l'année de la remise du diplome qui est citée.

Alors au niveau des DL en zéro.
Je pense qu'il faut rester à l'ordre 1 ça suffit.

sin(x)=x+o(x^3)

ou alors on peut noter sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}\epsilon (x^3) c'est chacun qui voit. epsilon(x^3) étant une "petite" fonction qui tend vers 0 lorsque x^3 tend vers 0.

ln(1+x²)=x²+o(x^4)
tan(x)=x+o(x^3)

Tu peux dès lors utiliser les équivalence de fonction, cad négliger le o() ou la fonction epsilon, mais alors dans ce cas le signe égual est "interdit".

Voila c'est loin j'espère que ça ta aidé (si je me trompe pas trop )

Posté par Mayhem555 (invité)re : évaluation limite 01-01-05 à 16:14

Dès lors, pour la première limite :

La fonction peut au voisinage de 0 etre approximée par

(x*x²)/(x*x)=x qui tend evidemment vers 0.


pour trouver le DL en x0 d'une fonction, tu peux utiliser la formule de Taylor

f(x) = f(x0) +f'(x0)*x +f''(x0)*x^2/2! +f'''(x0)*x^3/3! +... +f(n)(x0)*x^n/n! +O(x^n)

(et le Corrolaire de MacLaurrin pour x0=0).

-------------------------------
pour la 2e limite, l'usage d'un DL en zéro je pense marche aussi, le pb c kil n'existe pas de DL pour ln(x) (mais pour ln(1+x), oui
mais on peux trouver + simple.

Sachant que l'ensemble de définition de la fonction est R+* privé de 1.

quand x->0  ln(x)/x --> -infini
1+x  --> 1

donc (1+x)^(ln(x)/x)------> 1

aussi, -x --> 0

donc tout le numérateur tend vers 1.

en au numérateur, on c'est une croissance comparée entre x² et lnx , donc le x² "l'emporte" et x²lnx--->0

donc la limite totale est -linfini je crois.

J'ai peut etre commis une erreur j'ai fait ça très vite.

Posté par Mayhem555 (invité)re : évaluation limite 01-01-05 à 16:30

OUUUPS

Une grosse erreur sur la limite de :

(1+x)^(ln(x)/x)

c'est piégeux je suis tombé dedans
il faut passé en exponentielle et utilisé le DL de ln(1+x) :

(1+x)^(\frac{ln(x)}{x})=e^{(\frac{ln(x)}{x})\times ln(1+x))} qui par DL est équivalent à e^(lnx/x*x)=x  ---> 0 donc la limite du numérateur est 0.

Posté par matou (invité)évaluation limite 01-01-05 à 18:20

Salut Mayhem 555,

  Si je comprends bien, tu trouves une limite finale de 0 or quand j'utilise ma calculatrice, je trouve -. C'est donc plutôt ton premier résultat qui est juste.... Enfin, Je pense???
  Réponds moi si tu n'est pas d'accord avec cela.


                           Merci d'avance, Au revoir
                                  MATH

Posté par miquelon (invité)re : évaluation limite 01-01-05 à 20:43

Bonjour et meilleurs voeux

Réponse à Mayhem555.

Vous dites :miquelon : dans bcp d'écoles d'ingé lorsqu'on dit promo 2006, c'est l'année de la remise du diplome qui est citée.

Oui, je le sais (je suis moi-même issu d'une promo 1993 (mais pas l'X !!)), mais ce que je contestais, c'est qu'un étudiant sortant de spé et ayant encore 2 ans d'école devant lui, aussi brillant soit-il, n'a pas le niveau "ingénieur" mais tout au plus un très bon niveau 1er cycle universitaire.

Sinon, l'école d'ingé ne servirait à rien. Non ?


Miquelon (Retraité promo 2035)

Posté par Mayhem555 (invité)re : évaluation limite 01-01-05 à 21:45

Tout à fait d'accord, c'était juste pour 'l'anachronisme'

enfin on va pas s'embrouiller pour des broutilles pareilles.

Mayhem555 (INSA promo 2008 )
------------------

Bon alors matou. On parle bien de la 2e limite là ?!
Paske le premier résultat (1ere limite), c'est 0 j'en suis sur (ma correction avec les DL en zéro est bonne je pense). En tout cas à la calculette ça marche.


Pour la 2e limite, je suis un peu bloqué.
J'ai traité de manière séparée le numérateur et le dénominateur.

Le numérateur tend vers 0 lorske x->0
Idem pour le dénominateur. Donc il y a une forme indéterminée et c'est là que je coince. A mon avis ma méthode n'est pas la bonne.

A la calculatrice, il me semble que la limite en 0 est -1/2...mais alors comment y arriver...je vais m'y employer.

Par contre je comprend pas comment tu obtient des -OO.

En fait : Mon premier calcul pour la 2ere limite est faux. Sur le post d'après j'ai juste traité le numérateur que j'avais fait faux, mais ca ne résout pas le pb total puiske du coup j'abouti a une forme indéterminée.

Posté par miquelon (invité)re : évaluation limite 01-01-05 à 23:46

Pour Mayhem555,

Tout à fait d'accord, c'était juste pour 'l'anachronisme'

Le mot était mal choisi, j'avoue.
A+

Posté par
franzre : évaluation limite 03-01-05 à 02:24

[b]1°[/b]

\sin x \relstack \sim {x\to 0} x
\tan x \relstack \sim {x\to 0} x
\ln(1+x^2) \relstack \sim {x\to 0} x^2

\frac {\sin x \, \ln(1+x^2)} {x \,\tan x} \relstack \sim {x\to 0} \frac {x.x^2} {x.x} \relstack \sim {x\to 0} x
La première limite est donc nulle


[b]2°[/b]

\large (1+x)^{\frac {\ln x} x}-x = e^{\frac {\ln (1+x)\ln x} x} \;- e^{\ln x} = e^{\ln x} \( \exp[{\frac {\ln (1+x)\ln x} x - \ln x}] -1\) \\ \hspace {50}= x \[ \exp \( \ln x \frac {\ln(1+x) - x} x \) -1 \]

Or
\ln(1+x) - x \relstack \sim {x\to 0} - \frac {x^2} 2

Donc    \ln x \frac {\ln(1+x) - x} x \relstack \sim {x\to 0} - \frac {x \ln x} 2 \relstack \to {x\to 0} 0

Donc    \exp \( \ln x \frac {\ln(1+x) - x} x \) -1 \relstack \sim {x\to 0} - \frac {x \, \ln x} 2

Donc    \red \large \lim_{x \to 0} \frac {(1+x)^{\frac {\ln x} x}-x}{x^2 \, \ln x} = - \frac 1 2


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