Inscription / Connexion Nouveau Sujet
evn sur des matrices (ouvert/boules/interieur)
Bonjour, voici mon problème:
On rappelle que pour toute norme sur Md(K)[K=
ou 
] les applications det et tr (trace) sont continues sur Md(K).
i)Montrer que GLd(K)={matrices inversibles de Md(K)} est un ouvert de Md(K) ->ok , j'ai résonné avec son complémentaire.
ii)On note D={M
M2() diagonalisable dans de valeurs propres distinctes deux à deux}
Montrer que D=[tr² - 4*det]^(-1) (*) ->pas ok
En déduire que D est un ouvert de M2() ->pas ok
iii)Soient 
et 
0, M()=[ ; 0 ]
Montrer
>0 
>0 , M() B(M0(), )
->je pense avoir trouver la réponse, je dis ceci:
soit >0
M() B(M0(), ) 
norme ( M() - M0() ) <
norme( [0 ; 0 0] )< (>0)
*norme( [0 1;0 0] )<
Prenons ainsi = / (2*norme( [0 1;0 0] ) >0
La propriété énoncée est ainsi vérifiée.[sup][/sup]
Déterminer alors l'intérieur de l'ensemble des matrices diagonalisables de M2() ->aucune idée.
je ne vois très bien comment tu peux faire comme ça...
je fais tr^(-1)( [tr²-4det]^(-1)(*)) = [tr^3-4tr*det]^(-1)(*) (tr linéaire)
et là, je ne sais pas quoi faire...
J'ai presque fini la partie ii)
Je dis ceci:
D={MM2() / 1
2 }
où 1 et 2 représentent les valeurs propres de M
D'=[tr²-4det]-1(*)
Montrons la double inclusion.
a)D
D'
Soit MM2().
M est diagonalisable dans donc il existe P une matrice de passage et Di une matrice digonale de M2() tel que
M=P(-1)*Di*P
tr(P-1*Di*P)=tr(Di*P-1*P)=tr(Di*I2)=tr(Di)=1+2
det(P-1*Di*P)=det(P-1)*det(Di)*det(P)=det(Di)*det(P-1)*det(P)=det(Di)=1*2
tr²(M)-4det(M)=(1+2)²-4*1*2
=1²+2*1*2+2²-4*1*2
=1²-2*1*2+2²
=(1-2)²0 car MD
donc (1-2)²*
donc (1-2)-2*
donc MD'
b)D'D
Soit MD', prenons
avec a,b,c,d
tr(M)=a+d det(M)=ad-bc
tr²(M)-4*det(M)=(a-d)²+4bc0
Recherche des valeurs propres
det(M-X*I2)=det
=(a-X)(d-X)-bc
=ad-aX-dX+X²-bc=X²-(a+d)X+(ad-bc)
=(a+d)²-4(ad-bc)=(a-d)²+4bc0 (voir plus haut)
Là, je suis coincé, je ne sais pas comment faire ensuite...
Annuler
connectez vous
topologie en post-bac