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Niveau Maths sup
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ex sur anneau

Posté par
roxane
15-12-04 à 17:27

bonjour!

j'ai un DM a faire et je bolque sur 2questions, si vous pouvez m'aidez svp....

je vous dis d'abord ce qu'on sait
soit (A,+,.) un anneau commutatif tq xA,x²=x.
x+x=0A
on définit dans A la relation binaire < par:
(x,y)A²,x<y  <=>xy=x
0A est le plus petit élément de A pour < et 1A est le plus grang élément de A pour <


1)a) montrer que xy est le plus grand minorant de {x,y}
b)montrer que x+y+xy, noté xVy, est le plus petit majorant de {x,y}

je vois pas  comment faire!

pour la suite de l'ex on sait que:
xVx=x
xV0A=x
xV1A=1A
V est associative et comutative
. est distributive par rapport à V
V est distributive par rapport à .



2)soit l'aneau booléen (P(E)),,). A quoi correspond V dans cet aneau.

j'ai trouvé mais on m'a dit que c'est faux....on devrait trouvé

Posté par
franz
re : ex sur anneau 15-12-04 à 22:55

xy est un minorant de {x}. En effet :
(xy).x = x.(xy) = (x.x).y = xy

Idem pour xy<y
Donc xy minorant de {x,y}.

Soit à présent z tel que \{\array{z<x\\ z<y}
Donc \{\array{z.x=z\\ z.y=z}
Donc z.(xy)=(z.x).y=z.y=z\Longrightarrow z<xy

(xy) est bien le plus grand des minorants  de {x,y}

Posté par
franz
re : ex sur anneau 15-12-04 à 23:06

Pour le 1b/ , le raisonnement est le même
(x+y+xy)x=x^2+xy+x.(xy) = x+xy +xy =x   (car xy+xy=0 dans un anneau booléen comme tu l'as motré plus haut)
Donc x<x+y+xy

Idem pour y

Soit à présent un majorant z de {x,y}
\{ \array{xz=x\\ yz = y}\Longrightarrow (x+y+xy)z = xz+yz+xyz =x + y + xy\Longrightarrow (x+y+xy)<z

(x+y+xy) est le plus petit des majorants de \{x,y\}

Posté par
franz
re : ex sur anneau 15-12-04 à 23:39

La loi \Delta est la différence symétrique
\forall \{A,B\} \in {\mathcal P}(E)^2, A \Delta B = (A\cap \bar B)\cup(\bar A\cap B)= (A \cup B)\cap \overline{(A \cap B)}

On peut vérifier que la loi \Delta munit {\mathcal P}(E) d'une structure de groupe (chaque élément est son propre opposé et l'élément neutre est l'ensemble vide) et que \( {{\mathcal P}(E),\Delta, \cap}\) est un anneau de Boole.

Dans ces conditions,
\forall \{A,B\} \in {\mathcal P}(E)^2,\;\; A \vee B = A \Delta B \Delta (A\cap B) = (A \Delta B) \Delta (A\cap B)= \( (A \cup B)\cap \overline{(A \cap B)} \) \Delta (A\cap B) = \[{\( (A \cup B)\cap \overline{(A \cap B)} \) \cup (A\cap B) } \]\;\cap\; \[\overline {\( (A \cup B)\cap \overline{(A \cap B)} \) \cap (A\cap B) } \] \\ \hspace{200} = \[{\( (A \cup B) \cup (A\cap B) \)\cap \( \overline{(A \cap B)} \cup (A\cap B) }\) \] \; \cap \; \overline{\hspace{5} \empty \hspace{5} }\hspace{50} ({\rm car} \overline{(A \cap B)} \) \cap (A\cap B) = \empty) \\ \hspace{200} = A\cup B


La loi \vee est donc la loi \cup

Posté par
roxane
re : ex sur anneau 16-12-04 à 18:53

salut franz!

merci pour ton aide!
j'ai bien compris ce que t'as fait.

pour la différence symétrique, j'avais pas utilisé cette formule la ,mais celle-ci:
AB=AB-AB mé bas apparament c marche pas!



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